Mostrar que cada um dos operadores lineares do a seguir é inversível e determinar o isomorfismo inverso em cada caso: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o operador linear , definido por , é inversível. Para isso, a gente precisa entender o que significa um operador ser inversível e como encontrar essa inversão. Vamos usar matrizes para representar e depois encontrar sua matriz inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o operador na forma de uma matriz. Cada componente de corresponde a uma combinação linear das variáveis .
Isso significa que a matriz associada a é:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a matriz é inversível. Uma matriz é inversível se o seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de .
Calculando os menores:
Então,
Como , a matriz é inversível.
Passo 4
Com a matriz sendo inversível, vamos encontrar sua inversa . Para matrizes 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a matriz adjunta, mas aqui vamos usar a fórmula geral para encontrar a inversa.
Primeiro, precisamos encontrar a matriz dos cofatores de , depois a matriz adjunta e, por fim, multiplicar pela inversa do determinante.
Vamos calcular cada cofator:
Então, a matriz dos cofatores é:
A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores: