Mostrar que cada um dos operadores lineares do IR^3 a seguir é inversível e determinar o isomorfismo inverso em cada caso: F(x, y, z)=(x, x-y, 2 x+y-z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o operador linear , definido por , é inversível. Para isso, a gente precisa entender o que significa um operador ser inversível e como encontrar essa inversão. Vamos usar matrizes para representar e depois encontrar sua matriz inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o operador F(x, y, z) = x x - y 2x + y - z na forma de uma matriz. Cada componente de A = 1 & 0 & 0 1 & -1 & 0 2 & 1 & -1 corresponde a uma combinação linear das variáveis .
Isso significa que a matriz associada a é:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a matriz det(A) = 1 cdot -1 & 0 1 & -1 - 0 cdot 1 & 0 2 & -1 + 0 cdot 1 & -1 2 & 1 é inversível. Uma matriz é inversível se o seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de -1 & 0 1 & -1 = (-1)(-1) - (0)(1) = 1 .
det(A) = 1 cdot 1 = 1
Calculando os menores:
Então,
Como , a matriz é inversível.

Passo 4

Com a matriz C11 = -1 & 0 1 & -1 = 1 sendo inversível, vamos encontrar sua inversa C12 = - 1 & 0 2 & -1 = - (1 cdot (-1) - 0 cdot 2) = 1 . Para matrizes 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a matriz adjunta, mas aqui vamos usar a fórmula geral para encontrar a inversa.
Primeiro, precisamos encontrar a matriz dos cofatores de C13 = 1 & -1 2 & 1 = (1)(1) - (-1)(2) = 3 , depois a matriz adjunta e, por fim, multiplicar pela inversa do determinante.
Vamos calcular cada cofator:
C21 = - 0 & 0 1 & -1 = - (0 cdot (-1) - 0 cdot 1) = 0
C22 = 1 & 0 2 & -1 = (1)(-1) - 0 cdot 2 = -1
C23 = - 1 & 0 2 & 1 = - (1 cdot 1 - 0 cdot 2) = -1
C31 = 0 & 0 -1 & 0 = 0
C32 = - 1 & 0 1 & 0 = - (1 cdot 0 - 0 cdot 1) = 0
C33 = 1 & 0 1 & -1 = (1)(-1) - 0 cdot 1 = -1
C = 1 & 1 & 3 0 & -1 & -1 0 & 0 & -1
adj(A) = 1 & 0 & 0 1 & -1 & 0 3 & -1 & -1
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) = 11 cdot adj(A) = adj(A)
Então, a matriz dos cofatores A^-1 = 1 & 0 & 0 1 & -1 & 0 3 & -1 & -1 é:
A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores:
Finalmente, a matriz inversa é:
Portanto,

Resposta

O operador inverso de F^-1(a, b, c) = 1 & 0 & 0 1 & -1 & 0 3 & -1 & -1 a b c = (a, a - b, 3a - b - c) é dado por:

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