Mostrar que cada um dos operadores lineares do a seguir é inversível e determinar o isomorfismo inverso em cada caso: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o operador linear , definido por , é inversível. Para isso, a gente precisa entender o que significa um operador ser inversível e como encontrar essa inversão. Vamos usar matrizes para representar e depois encontrar sua matriz inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o operador na forma de uma matriz. Cada componente de corresponde a uma combinação linear das variáveis .
Isso significa que a matriz associada a é:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a matriz é inversível. Uma matriz é inversível se o seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de .
Calculando os menores:
Então,
Como , a matriz é inversível.

Passo 4

Com a matriz sendo inversível, vamos encontrar sua inversa . Para matrizes 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a matriz adjunta, mas aqui vamos usar a fórmula geral para encontrar a inversa.
Primeiro, precisamos encontrar a matriz dos cofatores de , depois a matriz adjunta e, por fim, multiplicar pela inversa do determinante.
Vamos calcular cada cofator:
Então, a matriz dos cofatores é:
A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores:
Finalmente, a matriz inversa é:
Portanto,

Resposta

O operador inverso de é dado por:

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Seja um vetor genérico do . Quais das aplicações definidas abaixo são operadores lineares do ?
;
Verifique se são operadores lineares no espaço
tal que .
Resolva os sistemas abaixo (pelo método de Gauss-Jordan) escrevendo as matrizes ampliadas associadas aos novos sistemas. Reduza as matrizes ampliadas à forma escalonada reduzida, determine seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade.
Encontre a equação da reta paralela à reta e passa pelo ponto 2).