Mostrar que cada um dos operadores lineares do a seguir é inversível e determinar o isomorfismo inverso em cada caso: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o operador linear , definido por , é inversível. Para isso, a gente precisa entender o que significa um operador ser inversível e como encontrar essa inversão. Vamos usar matrizes para representar e depois encontrar sua matriz inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o operador na forma de uma matriz. Cada componente de corresponde a uma combinação linear das variáveis .
Isso significa que a matriz associada a é:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a matriz det(A) = 1 cdot -1 & 0 1 & -1 - 0 cdot 1 & 0 2 & -1 + 0 cdot 1 & -1 2 & 1 é inversível. Uma matriz é inversível se o seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de -1 & 0 1 & -1 = (-1)(-1) - (0)(1) = 1 .
det(A) = 1 cdot 1 = 1
Calculando os menores:
Então,
Como , a matriz é inversível.
Passo 4
Com a matriz C11 = -1 & 0 1 & -1 = 1 sendo inversível, vamos encontrar sua inversa C12 = - 1 & 0 2 & -1 = - (1 cdot (-1) - 0 cdot 2) = 1 . Para matrizes 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a matriz adjunta, mas aqui vamos usar a fórmula geral para encontrar a inversa.
Primeiro, precisamos encontrar a matriz dos cofatores de C13 = 1 & -1 2 & 1 = (1)(1) - (-1)(2) = 3 , depois a matriz adjunta e, por fim, multiplicar pela inversa do determinante.