Seja
um vetor genérico do
. Quais das aplicações definidas abaixo são operadores lineares do
?
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre verificar se uma determinada função
que mapeia vetores de
para
é um operador linear. O conteúdo aqui envolve álgebra linear, especificamente operadores lineares. Para resolver isso, precisamos lembrar que um operador é linear se ele respeita duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um operador linear. Uma função
é linear se, para quaisquer vetores
e
em
e para qualquer escalar
, as seguintes condições são verdadeiras:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Além disso, um operador linear deve enviar o vetor zero de
para o vetor zero de
.
Passo 3
Vamos analisar a função dada:
.
Primeiro, observamos que
está sempre retornando o mesmo vetor, independentemente de qual vetor
você insira. Isso significa que
não depende dos componentes de
.
Passo 4
Vamos verificar a propriedade de aditividade. Seja
e
. Então:
Por outro lado:
Claramente,
, já que
.
Passo 5
Além disso, vamos verificar a propriedade de homogeneidade. Seja
um escalar qualquer e
. Então:
Enquanto:
Novamente,
, já que
a menos que
.
Passo 6
Além das propriedades acima, também podemos verificar o vetor zero. Se substituirmos
:
Isso já nos mostra que
não envia o vetor zero para o zero, o que é uma exigência para operadores lineares.
Resposta
A função
não é um operador linear de
.