Seja um vetor genérico do . Quais das aplicações definidas abaixo são operadores lineares do ? ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre verificar se uma determinada função que mapeia vetores de para é um operador linear. O conteúdo aqui envolve álgebra linear, especificamente operadores lineares. Para resolver isso, precisamos lembrar que um operador é linear se ele respeita duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um operador linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores e em e para qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
Aditividade:
Homogeneidade:
Além disso, um operador linear deve enviar o vetor zero de para o vetor zero de .
Passo 3
Vamos analisar a função dada: .
Primeiro, observamos que está sempre retornando o mesmo vetor, independentemente de qual vetor você insira. Isso significa que não depende dos componentes de .
Passo 4
Vamos verificar a propriedade de aditividade. Seja e . Então:
Por outro lado:
Claramente, , já que .
Passo 5
Além disso, vamos verificar a propriedade de homogeneidade. Seja um escalar qualquer e . Então:
Enquanto:
Novamente, , já que a menos que .
Passo 6
Além das propriedades acima, também podemos verificar o vetor zero. Se substituirmos :
Isso já nos mostra que não envia o vetor zero para o zero, o que é uma exigência para operadores lineares.