Seja u=(x, y, z, t) um vetor genérico do R^4. Quais das aplicações definidas abaixo são operadores lineares do R^4 ?
F(u)=(1,0,1,1);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre verificar se uma determinada função que mapeia vetores de para é um operador linear. O conteúdo aqui envolve álgebra linear, especificamente operadores lineares. Para resolver isso, precisamos lembrar que um operador é linear se ele respeita duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um operador linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores e em e para qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Além disso, um operador linear deve enviar o vetor zero de para o vetor zero de .

Passo 3

Vamos analisar a função dada: .
Primeiro, observamos que está sempre retornando o mesmo vetor, independentemente de qual vetor você insira. Isso significa que não depende dos componentes de .

Passo 4

Vamos verificar a propriedade de aditividade. Seja F(u + v) = F((x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2, t1 + t2)) = (1, 0, 1, 1) e F(u) + F(v) = (1, 0, 1, 1) + (1, 0, 1, 1) = (2, 0, 2, 2) . Então:
Por outro lado:
Claramente, , já que .

Passo 5

Além disso, vamos verificar a propriedade de homogeneidade. Seja F(cu) = F((cx, cy, cz, ct)) = (1, 0, 1, 1) um escalar qualquer e cF(u) = c(1, 0, 1, 1) = (c, 0, c, c) . Então:
Enquanto:
Novamente, , já que a menos que .

Passo 6

Além das propriedades acima, também podemos verificar o vetor zero. Se substituirmos F(0) = (1, 0, 1, 1) neq (0, 0, 0, 0) :
Isso já nos mostra que não envia o vetor zero para o zero, o que é uma exigência para operadores lineares.

Resposta

A função não é um operador linear de .

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