Seja um vetor genérico do . Quais das aplicações definidas abaixo são operadores lineares do ?
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre verificar se uma determinada função que mapeia vetores de para é um operador linear. O conteúdo aqui envolve álgebra linear, especificamente operadores lineares. Para resolver isso, precisamos lembrar que um operador é linear se ele respeita duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um operador linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores e em e para qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Além disso, um operador linear deve enviar o vetor zero de para o vetor zero de .

Passo 3

Vamos analisar a função dada: .
Primeiro, observamos que está sempre retornando o mesmo vetor, independentemente de qual vetor você insira. Isso significa que não depende dos componentes de .

Passo 4

Vamos verificar a propriedade de aditividade. Seja e . Então:
Por outro lado:
Claramente, , já que .

Passo 5

Além disso, vamos verificar a propriedade de homogeneidade. Seja um escalar qualquer e . Então:
Enquanto:
Novamente, , já que a menos que .

Passo 6

Além das propriedades acima, também podemos verificar o vetor zero. Se substituirmos :
Isso já nos mostra que não envia o vetor zero para o zero, o que é uma exigência para operadores lineares.

Resposta

A função não é um operador linear de .

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Verifique se são operadores lineares no espaço
tal que .
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