Mostrar que o centro de massa de um disco semicircular homogêneo, de raio , está em um ponto a do centro do círculo, sobre o eixo que passa nesse ponto, cortando o semicírculo em dias partes iguais. Lembrar que a densidade superficial de massa pode ser escrita como , onde é a massa do semicírculo e é a área do mesmo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o centro de massa de um disco semicircular homogêneo com raio está a uma distância de do centro do círculo, ao longo do eixo que divide o semicírculo em duas partes iguais. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de centro de massa e entender um pouco sobre densidade superficial de massa, que no caso é constante porque o semicírculo é homogêneo.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um sistema de coordenadas que facilite nossos cálculos. Vamos colocar o centro do círculo na origem do sistema, com o eixo passando pelo ponto onde queremos encontrar o centro de massa. Como o semicírculo está simétrico em relação a esse eixo, só precisamos calcular a coordenada do centro de massa.

Passo 3

O centro de massa ( ) pode ser calculado usando a fórmula:
Onde é a área do semicírculo e é um elemento infinitesimal de área. Como o semicírculo é homogêneo, a densidade superficial é constante e igual a , onde é a massa total.

Passo 4

Vamos calcular a área do semicírculo:
Agora, para calcular , usamos coordenadas polares, onde e o elemento de área em coordenadas polares é . Assim, a integral fica:
Calculando as integrais:
Então:

Resposta

O centro de massa do semicírculo homogêneo está localizado a uma distância de do centro do círculo, ao longo do eixo de simetria.

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Três corpos A, B e C de massas e estão inicialmente em repouso em nas posições dadas pelos vetores , e ,. Cada uma sofre a ação de uma força externa. Essas forças são dadas por e . Calcule:
d) a velocidade do centro de massa do sistema em :
Três corpos A, B e C de massas e estão inicialmente em repouso em nas posições dadas pelos vetores , e ,. Cada uma sofre a ação de uma força externa. Essas forças são dadas por e . Calcule:
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