Mostrar que o centro de massa de um disco semicircular homogêneo, de raio R, está em um ponto a [4 /(3 pi)] R do centro do círculo, sobre o eixo que passa nesse ponto, cortando o semicírculo em dias partes iguais. Lembrar que a densidade superficial de massa pode ser escrita como rho=M / A, onde M é a massa do semicírculo e A é a área do mesmo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o centro de massa de um disco semicircular homogêneo com raio está a uma distância de do centro do círculo, ao longo do eixo que divide o semicírculo em duas partes iguais. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de centro de massa e entender um pouco sobre densidade superficial de massa, que no caso é constante porque o semicírculo é homogêneo.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um sistema de coordenadas que facilite nossos cálculos. Vamos colocar o centro do círculo na origem do sistema, com o eixo passando pelo ponto onde queremos encontrar o centro de massa. Como o semicírculo está simétrico em relação a esse eixo, só precisamos calcular a coordenada do centro de massa.

Passo 3

O centro de massa ( y = 1A integral y , dA ) pode ser calculado usando a fórmula:
Onde é a área do semicírculo e é um elemento infinitesimal de área. Como o semicírculo é homogêneo, a densidade superficial é constante e igual a , onde é a massa total.

Passo 4

Vamos calcular a área A = 12 pi R^2 do semicírculo:
y = 1A integral0^pi integral0^R r sintheta cdot r , dr , dtheta = 1A integral0^pi sintheta , dtheta integral0^R r^2 , dr
Agora, para calcular integral0^R r^2 , dr = R^33 , usamos coordenadas polares, onde integral0^pi sintheta , dtheta = 2 e o elemento de área em coordenadas polares é y = 112 pi R^2 cdot 2 cdot R^33 = 43pi R . Assim, a integral fica:
Calculando as integrais:
Então:

Resposta

O centro de massa do semicírculo homogêneo está localizado a uma distância de do centro do círculo, ao longo do eixo de simetria.

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