Mostrar que o centro de massa de um disco semicircular homogêneo, de raio
, está em um ponto a
do centro do círculo, sobre o eixo que passa nesse ponto, cortando o semicírculo em dias partes iguais. Lembrar que a densidade superficial de massa pode ser escrita como
, onde
é a massa do semicírculo e
é a área do mesmo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o centro de massa de um disco semicircular homogêneo com raio
está a uma distância de
do centro do círculo, ao longo do eixo que divide o semicírculo em duas partes iguais. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de centro de massa e entender um pouco sobre densidade superficial de massa, que no caso é constante porque o semicírculo é homogêneo.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher um sistema de coordenadas que facilite nossos cálculos. Vamos colocar o centro do círculo na origem do sistema, com o eixo
passando pelo ponto onde queremos encontrar o centro de massa. Como o semicírculo está simétrico em relação a esse eixo, só precisamos calcular a coordenada
do centro de massa.
Passo 3
O centro de massa (
) pode ser calculado usando a fórmula:
Onde
é a área do semicírculo e
é um elemento infinitesimal de área. Como o semicírculo é homogêneo, a densidade superficial
é constante e igual a
, onde
é a massa total.
Passo 4
Vamos calcular a área
do semicírculo:
Agora, para calcular
, usamos coordenadas polares, onde
e o elemento de área em coordenadas polares é
. Assim, a integral fica:
Calculando as integrais:
Então:
Resposta
O centro de massa do semicírculo homogêneo está localizado a uma distância de
do centro do círculo, ao longo do eixo de simetria.