Três corpos A, B e C de massas mA=4,00 kg, mB=8,00 kg e mC=4,00 kg estão inicialmente em repouso em t=0 s nas posições dadas pelos vetores rA=(-2,00 i+3,00 j) m, rB=(4,00 i+2,00 j) m e rC=(1,00 i-2,00 j) m,. Cada uma sofre a ação de uma força externa. Essas forças são dadas por FA=-6,00 N, FB=(6,00 raiz2,00 i+6,00 raiz2,00 j) N e FC=14,0 N. Calcule:
d) a velocidade do centro de massa do sistema em t=3,00 s :

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos três corpos com massas específicas e posições iniciais, todos em repouso. Cada corpo está sob a ação de uma força externa. Queremos calcular a velocidade do centro de massa desse sistema de três corpos após 3 segundos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Centro de Massa e Segunda Lei de Newton aplicada ao sistema como um todo.

Passo 2

Vamos começar calculando a força total que atua no sistema. Como cada força está aplicando em direções diferentes, precisamos somar essas forças vetorialmente.
As forças dadas são:
  • Ftotal = (8,00 + 6,00 raiz2) , i + 6,00 raiz2 , j , N (assumindo que a direção negativa é no eixo )
  • (assumindo direção positiva no eixo )
Somando as componentes:
  • Na direção :
  • Na direção :
Então, a força total é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a massa total do sistema. Somamos as massas de A, B e C:
mtotal = mA + mB + mC = 4,00 , kg + 8,00 , kg + 4,00 , kg = 16,00 , kg

Passo 4

Utilizando a Segunda Lei de Newton para o centro de massa, temos que a aceleração do centro de massa acm = Ftotalmtotal é dada por:
acm = (8,00 + 6,00 raiz2) , i + 6,00 raiz2 , j16,00 , kg = (8,00 + 6,00 raiz216,00) , i + (6,00 raiz216,00) , j , m/s^2
Substituindo os valores:

Passo 5

Para encontrar a velocidade do centro de massa após vcm = acm times t , usamos a relação:
vcm = (8,00 + 6,00 raiz216,00 times 3,00) , i + (6,00 raiz216,00 times 3,00) , j
Substituindo:
vcm = (24,00 + 18,00 raiz216,00) , i + (18,00 raiz216,00) , j , m/s
Simplificando:

Resposta

A velocidade do centro de massa do sistema após vcm = (24,00 + 18,00 raiz216,00) , i + (18,00 raiz216,00) , j , m/s é:
vcm approx (2,25 , i + 1,59 , j) , m/s
Ou, aproximando os valores:

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