Três corpos A, B e C de massas mA=4,00 kg, mB=8,00 kg e mC=4,00 kg estão inicialmente em repouso em t=0 s nas posições dadas pelos vetores rA=(-2,00 i+3,00 j) m, rB=(4,00 i+2,00 j) m e rC=(1,00 i-2,00 j) m,. Cada uma sofre a ação de uma força externa. Essas forças são dadas por FA=-6,00 N, FB=(6,00 raiz2,00 i+6,00 raiz2,00 j) N e FC=14,0 N. Calcule:
c) a posição do centro de massa do sistema em t=3,00 s

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a posição do centro de massa de um sistema formado por três corpos depois de 3 segundos. A gente vai usar conceitos de Centro de Massa e Movimento Uniformemente Acelerado. Para resolver, vamos precisar saber as massas, posições iniciais, forças aplicadas em cada corpo e o tempo considerado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o centro de massa. O centro de massa é o ponto onde podemos imaginar que toda a massa do sistema está concentrada. A posição do centro de massa ( R = mArA + mBrB + mCrCmA + mB + mC ) é dada por:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a posição de cada corpo após 3 segundos. Como cada corpo está sujeito a uma força externa, podemos usar a segunda lei de Newton ( aA = FAmA = -6,00, N4,00, kg = -1,50, m/s^2 ) para encontrar a aceleração de cada corpo.
Para o corpo A:
aB = FBmB = (6,00 raiz2, i + 6,00 raiz2, j), N8,00, kg = (1,5 raiz2, i + 1,5 raiz2, j), m/s^2
Para o corpo B:
aC = FCmC = 14,0, N4,00, kg = 3,50, m/s^2
Para o corpo C:

Passo 4

Com as acelerações, podemos encontrar a velocidade de cada corpo após 3 segundos usando:
v = a times t
E a posição usando:
r(t) = r0 + v times t + 12 a times t^2
Como os corpos começam do repouso ( r(t) = r0 + 12 a times t^2 ), simplificamos para:

Passo 5

Vamos calcular a nova posição de cada corpo após 3 segundos.
Para o corpo A:
rA(3) = (-2,00, i + 3,00, j), m + 12 times (-1,50, m/s^2) times (3,00, s)^2
rA(3) = (-2,00, i + 3,00, j), m + (-6,75, i), m
rA(3) = (-8,75, i + 3,00, j), m
Para o corpo B:
rB(3) = (4,00, i + 2,00, j), m + 12 times (1,5 raiz2, i + 1,5 raiz2, j) times (3,00, s)^2
rB(3) = (4,00, i + 2,00, j), m + (6,75 raiz2, i + 6,75 raiz2, j), m
Para o corpo C:
rC(3) = (1,00, i - 2,00, j), m + 12 times 3,50, m/s^2 times (3,00, s)^2
rC(3) = (1,00, i - 2,00, j), m + (15,75, i), m
rC(3) = (16,75, i - 2,00, j), m

Passo 6

Agora, vamos calcular o centro de massa usando a fórmula mencionada no Passo 2.
R = mArA(3) + mBrB(3) + mCrC(3)mA + mB + mC
Substituindo os valores:
R = 4,00 times (-8,75, i + 3,00, j) + 8,00 times (4,00, i + 2,00, j + 6,75 raiz2, i + 6,75 raiz2, j) + 4,00 times (16,75, i - 2,00, j)4,00 + 8,00 + 4,00
Simplificando:
R = (-35,00, i + 12,00, j) + (32,00, i + 16,00, j + 54,00 raiz2, i + 54,00 raiz2, j) + (67,00, i - 8,00, j)16,00
R = (-35 + 32 + 54 raiz2 + 67), i + (12 + 16 + 54 raiz2 - 8), j16
R = (54 raiz2 + 64), i + (54 raiz2 + 20), j16
R = (54 raiz2 + 6416), i + (54 raiz2 + 2016), j

Resposta

A posição do centro de massa do sistema em R approx (8,56, i + 6,68, j), m é aproximadamente:

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