Três corpos A, B e C de massas e estão inicialmente em repouso em nas posições dadas pelos vetores , e ,. Cada uma sofre a ação de uma força externa. Essas forças são dadas por e . Calcule:
c) a posição do centro de massa do sistema em

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a posição do centro de massa de um sistema formado por três corpos depois de 3 segundos. A gente vai usar conceitos de Centro de Massa e Movimento Uniformemente Acelerado. Para resolver, vamos precisar saber as massas, posições iniciais, forças aplicadas em cada corpo e o tempo considerado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o centro de massa. O centro de massa é o ponto onde podemos imaginar que toda a massa do sistema está concentrada. A posição do centro de massa ( ) é dada por:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a posição de cada corpo após 3 segundos. Como cada corpo está sujeito a uma força externa, podemos usar a segunda lei de Newton ( ) para encontrar a aceleração de cada corpo.
Para o corpo A:
Para o corpo B:
Para o corpo C:

Passo 4

Com as acelerações, podemos encontrar a velocidade de cada corpo após 3 segundos usando:
E a posição usando:
Como os corpos começam do repouso ( ), simplificamos para:

Passo 5

Vamos calcular a nova posição de cada corpo após 3 segundos.
Para o corpo A:
Para o corpo B:
Para o corpo C:

Passo 6

Agora, vamos calcular o centro de massa usando a fórmula mencionada no Passo 2.
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A posição do centro de massa do sistema em é aproximadamente:

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Três corpos A, B e C de massas e estão inicialmente em repouso em nas posições dadas pelos vetores , e ,. Cada uma sofre a ação de uma força externa. Essas forças são dadas por e . Calcule:
a) a posição do centro de massa do sistema em
Usando a definição de derivada, calcule as derivadas das seguintes funções: b)
Três corpos A, B e C de massas e estão inicialmente em repouso em nas posições dadas pelos vetores , e ,. Cada uma sofre a ação de uma força externa. Essas forças são dadas por e . Calcule:
d) a velocidade do centro de massa do sistema em :
Mostrar que o centro de massa de um disco semicircular homogêneo, de raio , está em um ponto a do centro do círculo, sobre o eixo que passa nesse ponto, cortando o semicírculo em dias partes iguais. Lembrar que a densidade superficial de massa pode ser escrita como , onde é a massa do semicírculo e é a área do mesmo.