Mostrar que a curvatura da catenária r(t) = (t, cosh(t)), -infinito < t < +infinito é dada por k(t) = 1/cosh(t)^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a curvatura da catenária dada por é . A matéria envolvida aqui é curvatura de curvas paramétricas. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas da posição em relação a e aplicar a fórmula da curvatura para curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma curva paramétrica é dada por . No nosso caso, e . Para encontrar a curvatura, precisamos das primeiras e segundas derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as primeiras derivadas:
Aqui, usamos que a derivada de é .

Passo 4

Agora, as segundas derivadas:
A derivada de é novamente .

Passo 5

A fórmula da curvatura para uma curva paramétrica é:
Vamos substituir os valores que calculamos.

Passo 6

Substituindo as derivadas na fórmula:
Simplificamos o numerador e o denominador separadamente.

Passo 7

Sabemos que , então . Substituindo:
Simplificamos os termos de .

Resposta

Assim, mostramos que a curvatura da catenária é dada por:

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