Mostrar que a curvatura da catenária
é dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a curvatura da catenária dada por
é
. A matéria envolvida aqui é curvatura de curvas paramétricas. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas da posição em relação a
e aplicar a fórmula da curvatura para curvas paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma curva paramétrica é dada por
. No nosso caso,
e
. Para encontrar a curvatura, precisamos das primeiras e segundas derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as primeiras derivadas:
Aqui, usamos que a derivada de
é
.
Passo 4
Agora, as segundas derivadas:
A derivada de
é novamente
.
Passo 5
A fórmula da curvatura
para uma curva paramétrica
é:
Vamos substituir os valores que calculamos.
Passo 6
Substituindo as derivadas na fórmula:
Simplificamos o numerador e o denominador separadamente.
Passo 7
Sabemos que
, então
. Substituindo:
Simplificamos os termos de
.
Resposta
Assim, mostramos que a curvatura da catenária
é dada por: