Mostrar que a curvatura da catenária
é dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a curvatura da catenária dada por
é
. A matéria envolvida aqui é curvatura de curvas paramétricas. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas da posição em relação a
e aplicar a fórmula da curvatura para curvas paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma curva paramétrica é dada por
. No nosso caso,
e
. Para encontrar a curvatura, precisamos das primeiras e segundas derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as primeiras derivadas:
Aqui, usamos que a derivada de
é
.
Passo 4
Agora, as segundas derivadas:
A derivada de
é novamente
.
Passo 5
A fórmula da curvatura
para uma curva paramétrica
é:
Vamos substituir os valores que calculamos.
Passo 6
Substituindo as derivadas na fórmula:
Simplificamos o numerador e o denominador separadamente.
Passo 7
Sabemos que
, então
. Substituindo:
Simplificamos os termos de
.
Resposta
Assim, mostramos que a curvatura da catenária
é dada por:
Exercícios relacionados
Calcular a curvatura da circunferência de raio
centrada na origem.
Verifique se os campos
abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.
Resolva os problemas de valor inicial:
(a)
(a)