Resolva os problemas de valor inicial:
(a)
(a)
Passo 1
Então, a gente tem um problema de equações diferenciais aqui. A equação é
com as condições iniciais
e
. Vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares de segunda ordem com partes homogêneas e particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
. Para isso, encontramos a equação característica associada, que é
.
Passo 3
Resolvendo a equação característica
, encontramos as raízes. Calculando o discriminante:
. Como o discriminante é zero, temos raízes reais e iguais:
.
Passo 4
Com raízes iguais
, a solução geral da parte homogênea é
, onde
e
são constantes que vamos determinar com as condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa
. Como o lado direito é um polinômio de grau 1, vamos supor uma solução particular da forma
.
Passo 6
Calculando as derivadas de
:
Passo 7
Substituindo
e suas derivadas na equação original:
Isso simplifica para:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para
:
→
Para os termos constantes:
→
→
→
→
Passo 9
Então, a solução particular é
.
Passo 10
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da particular:
Passo 11
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
:
Passo 12
Segunda condição:
.
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Aplicando
:
Substituindo
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: