Resolva os problemas de valor inicial:
(a) { x'' + 6 x' + 9 x = t + 2 x(0) = 0, x'(0) = 0 }

Passo 1

Então, a gente tem um problema de equações diferenciais aqui. A equação é com as condições iniciais e . Vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares de segunda ordem com partes homogêneas e particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação: . Para isso, encontramos a equação característica associada, que é .

Passo 3

Resolvendo a equação característica , encontramos as raízes. Calculando o discriminante: . Como o discriminante é zero, temos raízes reais e iguais: .

Passo 4

Com raízes iguais , a solução geral da parte homogênea é , onde e são constantes que vamos determinar com as condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é um polinômio de grau 1, vamos supor uma solução particular da forma .

Passo 6

Calculando as derivadas de :

Passo 7

Substituindo e suas derivadas na equação original:
Isso simplifica para:

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para t:
Para os termos constantes:

Passo 9

Então, a solução particular é .

Passo 10

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da particular:

Passo 11

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição: :

Passo 12

Segunda condição: .
Primeiro, calculamos a derivada de x(t):
Aplicando :
Substituindo :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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