Verifique se os campos abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, a gente também tem que encontrar um potencial de onde ele deriva. Isso envolve um pouco de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função escalar tal que:
Ou seja, e .

Passo 3

Para verificar se o campo é conservativo, uma condição necessária (e suficiente em domínios simplesmente conexos) é que as derivadas parciais cruzadas sejam iguais. Isso é dado pela igualdade:
Vamos calcular essas derivadas para o nosso campo.

Passo 4

Identificamos e .
Calculando :
Calculando :

Passo 5

Como , a condição para o campo ser conservativo é satisfeita. Portanto, o campo é conservativo.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a função potencial tal que .
Sabemos que:
Integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de , já que a derivada parcial em relação a eliminou qualquer função que só dependa de .

Passo 7

Agora, usamos a segunda parte da relação :
Calculando a derivada de em relação a :
Isso implica que , então é uma constante. Podemos chamar essa constante de .

Resposta

O campo vetorial é conservativo, e uma função potencial de onde ele deriva é:
Onde é uma constante qualquer.

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Resolva os problemas de valor inicial:
(a)
Verifique se os campos abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.