Verifique se os campos
abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, a gente também tem que encontrar um potencial de onde ele deriva. Isso envolve um pouco de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo
é conservativo se existe uma função escalar
tal que:
Ou seja,
e
.
Passo 3
Para verificar se o campo é conservativo, uma condição necessária (e suficiente em domínios simplesmente conexos) é que as derivadas parciais cruzadas sejam iguais. Isso é dado pela igualdade:
Vamos calcular essas derivadas para o nosso campo.
Passo 4
Identificamos
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Passo 5
Como
, a condição para o campo ser conservativo é satisfeita. Portanto, o campo
é conservativo.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a função potencial
tal que
.
Sabemos que:
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, já que a derivada parcial em relação a
eliminou qualquer função que só dependa de
.
Passo 7
Agora, usamos a segunda parte da relação
:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Podemos chamar essa constante de
.
Resposta
O campo vetorial
é conservativo, e uma função potencial de onde ele deriva é:
Onde
é uma constante qualquer.
Exercícios relacionados
Mostrar que a curvatura da catenária
é dada por
.
Calcular a curvatura da circunferência de raio
centrada na origem.
Resolva os problemas de valor inicial:
(a)
(a)
Verifique se os campos
abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.