Mostrar que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que:
Aqui, estamos trabalhando com calculo vetorial, especificamente com operadores diferenciais como o divergente (
) e o gradiente (
). Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação para produtos de funções escalares e vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é um campo escalar e
é um campo vetorial. Quando multiplicamos um escalar por um vetor, obtemos outro vetor.
A expressão
representa o divergente do produto escalar entre
e
. Para expandir isso, usamos a regra do produto para o divergente, que nos diz como derivar o produto de um escalar e um vetor.
Passo 3
A regra do produto para o divergente diz que:
Onde
é um escalar e
é um vetor. Aplicando essa regra ao nosso caso, onde
e
, temos:
Passo 4
Rearranjando os termos, obtemos:
O que é exatamente o que queríamos demonstrar.
Resposta
Assim, mostramos que: