Mostrar que: nabla cdot(s v)=v cdot nabla s+s(nabla cdot v)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que:
nabla cdot (s , v) = v cdot nabla s + s (nabla cdot v)
Aqui, estamos trabalhando com calculo vetorial, especificamente com operadores diferenciais como o divergente ( nabla cdot) e o gradiente ( nabla). Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação para produtos de funções escalares e vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que s é um campo escalar e v é um campo vetorial. Quando multiplicamos um escalar por um vetor, obtemos outro vetor.
A expressão nabla cdot (s , v) representa o divergente do produto escalar entre s e v. Para expandir isso, usamos a regra do produto para o divergente, que nos diz como derivar o produto de um escalar e um vetor.

Passo 3

A regra do produto para o divergente diz que:
nabla cdot (phi A) = phi (nabla cdot A) + A cdot (nabla phi)
Onde phi é um escalar e A é um vetor. Aplicando essa regra ao nosso caso, onde phi = s e A = v, temos:
nabla cdot (s , v) = s (nabla cdot v) + v cdot (nabla s)

Passo 4

Rearranjando os termos, obtemos:
nabla cdot (s , v) = v cdot nabla s + s (nabla cdot v)
O que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

Assim, mostramos que:
nabla cdot (s , v) = v cdot nabla s + s (nabla cdot v)

Exercícios relacionados