Mostrar que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a divergência do produto de dois vetores,
, é igual a
. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o operador divergente. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o operador divergente em produtos de vetores e usar algumas propriedades básicas da matemática vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a divergência de um vetor. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Isso basicamente mede a “taxa de expansão” do campo vetorial em cada ponto do espaço.
Passo 3
Agora, vamos considerar o produto de dois vetores
e
. Quando falamos de
, estamos nos referindo ao produto tensorial ou ao produto componente a componente. Para simplificar, vamos assumir que é o produto componente a componente. Então, se
e
, temos:
Passo 4
Aplicando a definição de divergência ao produto
:
Agora, vamos usar a regra do produto para derivadas, que diz que
. Aplicando isso a cada termo:
Passo 5
Agora, podemos reescrever os termos agrupando as partes que correspondem a
e
:
Resposta
Mostramos que
.
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Qual é a definição de linha de corrente? O que indicam as linhas de corrente?
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Utilizando Álgebra tensorial, calcular os resultados das operações a seguir em coordenadas cartesianas.