Mostrar que:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a divergência do produto de dois vetores, , é igual a . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o operador divergente. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o operador divergente em produtos de vetores e usar algumas propriedades básicas da matemática vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a divergência de um vetor. A divergência de um campo vetorial é dada por:
Isso basicamente mede a “taxa de expansão” do campo vetorial em cada ponto do espaço.

Passo 3

Agora, vamos considerar o produto de dois vetores e . Quando falamos de , estamos nos referindo ao produto tensorial ou ao produto componente a componente. Para simplificar, vamos assumir que é o produto componente a componente. Então, se e , temos:

Passo 4

Aplicando a definição de divergência ao produto :
Agora, vamos usar a regra do produto para derivadas, que diz que . Aplicando isso a cada termo:

Passo 5

Agora, podemos reescrever os termos agrupando as partes que correspondem a e :

Resposta

Mostramos que .

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