Mostrar que: nabla cdot u v=u cdot nabla v+v nabla cdot u

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a divergência do produto de dois vetores, nabla cdot (u v), é igual a u cdot nabla v + v nabla cdot u. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o operador divergente. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o operador divergente em produtos de vetores e usar algumas propriedades básicas da matemática vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a divergência de um vetor. A divergência de um campo vetorial A = (Ax, Ay, Az) é dada por:
nabla cdot A = partial Axpartial x + partial Aypartial y + partial Azpartial z
Isso basicamente mede a “taxa de expansão” do campo vetorial em cada ponto do espaço.

Passo 3

Agora, vamos considerar o produto de dois vetores u e v. Quando falamos de u v, estamos nos referindo ao produto tensorial ou ao produto componente a componente. Para simplificar, vamos assumir que é o produto componente a componente. Então, se u = (ux, uy, uz) e v = (vx, vy, vz), temos:
u v = (ux vx, uy vy, uz vz)

Passo 4

Aplicando a definição de divergência ao produto u v:
nabla cdot (u v) = partial (ux vx)partial x + partial (uy vy)partial y + partial (uz vz)partial z
Agora, vamos usar a regra do produto para derivadas, que diz que partial (ab)partial x = a partial bpartial x + b partial apartial x. Aplicando isso a cada termo:
nabla cdot (u v) = ux partial vxpartial x + vx partial uxpartial x + uy partial vypartial y + vy partial uypartial y + uz partial vzpartial z + vz partial uzpartial z

Passo 5

Agora, podemos reescrever os termos agrupando as partes que correspondem a u cdot nabla v e v nabla cdot u:
nabla cdot (u v) = u cdot nabla v + v nabla cdot u

Resposta

Mostramos que nabla cdot (u v) = u cdot nabla v + v nabla cdot u.

Exercícios relacionados