Utilizando Álgebra tensorial, calcular os resultados das operações a seguir em coordenadas cartesianas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Álgebra Tensorial onde precisamos calcular a operação
em coordenadas cartesianas. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar derivadas parciais e trabalhar com vetores nas coordenadas x, y e z.
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar o que significa
. Aqui,
é um campo vetorial, ou seja, um vetor que pode variar de posição para posição no espaço. O operador
é o operador nabla, que representa as derivadas parciais em cada direção espacial.
Passo 3
Vamos escrever o vetor
em coordenadas cartesianas:
onde
,
e
são as componentes de
nas direções x, y e z, respectivamente.
Passo 4
O operador
aplicado em
é conhecido como gradiente vetorial e é dado por:
Mas, na verdade, estamos interessados em
, que é uma operação específica.
Passo 5
A expressão
representa o produto escalar do vetor
com o operador
aplicado a
. Isso significa que vamos multiplicar cada componente de
pelas derivadas parciais correspondentes e somar os resultados:
Passo 6
Vamos calcular cada termo separadamente. Primeiro, a derivada de
em relação a x:
Multiplicando por
:
Passo 7
Fazendo o mesmo para as derivadas em relação a y e z:
Passo 8
Agora, somamos todos os termos para obter
:
Passo 9
Esse resultado nos dá um novo vetor, onde cada componente é uma combinação das derivadas parciais das componentes de
multiplicadas pelas próprias componentes de
. Esse tipo de operação é comum em equações de movimento em fluidos, por exemplo.
Resposta
Portanto, o resultado da operação
em coordenadas cartesianas é dado por: