Utilizando Álgebra tensorial, calcular os resultados das operações a seguir em coordenadas cartesianas. v cdot nabla v

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Álgebra Tensorial onde precisamos calcular a operação v cdot nabla v em coordenadas cartesianas. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar derivadas parciais e trabalhar com vetores nas coordenadas x, y e z.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar o que significa v cdot nabla v. Aqui, v é um campo vetorial, ou seja, um vetor que pode variar de posição para posição no espaço. O operador nabla é o operador nabla, que representa as derivadas parciais em cada direção espacial.

Passo 3

Vamos escrever o vetor v em coordenadas cartesianas:
v = vx i + vy j + vz k
onde vx, vy e vz são as componentes de v nas direções x, y e z, respectivamente.

Passo 4

O operador nabla aplicado em v é conhecido como gradiente vetorial e é dado por:
nabla v = ( partial vxpartial x ) i + ( partial vxpartial y ) j + ( partial vxpartial z ) k + ( partial vypartial x ) i + ( partial vypartial y ) j + ( partial vypartial z ) k + ( partial vzpartial x ) i + ( partial vzpartial y ) j + ( partial vzpartial z ) k
Mas, na verdade, estamos interessados em v cdot nabla v, que é uma operação específica.

Passo 5

A expressão v cdot nabla v representa o produto escalar do vetor v com o operador nabla aplicado a v. Isso significa que vamos multiplicar cada componente de v pelas derivadas parciais correspondentes e somar os resultados:
v cdot nabla v = vx partial vpartial x + vy partial vpartial y + vz partial vpartial z

Passo 6

Vamos calcular cada termo separadamente. Primeiro, a derivada de v em relação a x:
partial vpartial x = partial vxpartial x i + partial vypartial x j + partial vzpartial x k
Multiplicando por vx:
vx partial vpartial x = vx partial vxpartial x i + vx partial vypartial x j + vx partial vzpartial x k

Passo 7

Fazendo o mesmo para as derivadas em relação a y e z:
vy partial vpartial y = vy partial vxpartial y i + vy partial vypartial y j + vy partial vzpartial y k
vz partial vpartial z = vz partial vxpartial z i + vz partial vypartial z j + vz partial vzpartial z k

Passo 8

Agora, somamos todos os termos para obter v cdot nabla v:
v cdot nabla v = (vx partial vxpartial x + vy partial vxpartial y + vz partial vxpartial z) i
+ (vx partial vypartial x + vy partial vypartial y + vz partial vypartial z) j
+ (vx partial vzpartial x + vy partial vzpartial y + vz partial vzpartial z) k

Passo 9

Esse resultado nos dá um novo vetor, onde cada componente é uma combinação das derivadas parciais das componentes de v multiplicadas pelas próprias componentes de v. Esse tipo de operação é comum em equações de movimento em fluidos, por exemplo.

Resposta

Portanto, o resultado da operação v cdot nabla v em coordenadas cartesianas é dado por:
v cdot nabla v = (vx partial vxpartial x + vy partial vxpartial y + vz partial vxpartial z) i
+ (vx partial vypartial x + vy partial vypartial y + vz partial vypartial z) j
+ (vx partial vzpartial x + vy partial vzpartial y + vz partial vzpartial z) k

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