Mostrar que: se T for um tensor simétrico

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a divergência de um tensor multiplicado por um vetor, , pode ser expressa como , desde que o tensor seja simétrico, ou seja, . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial e manipulação de tensores para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, é um tensor, é um vetor, e representa o operador nabla, que envolve derivadas parciais. A dupla divergência aplicada a nos dá uma operação envolvendo derivadas dessas quantidades.

Passo 3

Vamos expandir em componentes. Em notação indexada, isso fica:
Aqui, representa a derivada parcial em relação à coordenada , e a soma sobre o índice é implícita (somatório de Einstein).

Passo 4

Aplicando a regra do produto para derivadas, temos:
Isso separa a derivada do produto em duas partes: uma derivada de multiplicada por , e multiplicada pela derivada de .

Passo 5

Vamos reescrever as expressões obtidas:
Aqui, é a divergência do tensor , e representa o produto duplo entre e o gradiente de .

Passo 6

Juntando as duas partes, temos:
Isso mostra exatamente o que o exercício pediu, utilizando a simetria do tensor para chegar na igualdade final.

Resposta

Portanto, mostramos que:
quando é um tensor simétrico.

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O perfil de velocidade do escoamento de um óleo numa superfície sólida é dado por: . Onde é o perfil de velocidade em e y o afastamento da superfície em ( ). O óleo apresenta viscosidade absoluta de Pa.s. Determinar a tensão de cisalhamento a 20 cm da superfície sólida.
(Sol.:0,0016 N/m²).
Mostrar que:
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