Mostrar que:
se T for um tensor simétrico
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a divergência de um tensor multiplicado por um vetor,
, pode ser expressa como
, desde que o tensor
seja simétrico, ou seja,
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial e manipulação de tensores para resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Aqui,
é um tensor,
é um vetor, e
representa o operador nabla, que envolve derivadas parciais. A dupla divergência aplicada a
nos dá uma operação envolvendo derivadas dessas quantidades.
Passo 3
Vamos expandir
em componentes. Em notação indexada, isso fica:
Aqui,
representa a derivada parcial em relação à coordenada
, e a soma sobre o índice
é implícita (somatório de Einstein).
Passo 4
Aplicando a regra do produto para derivadas, temos:
Isso separa a derivada do produto em duas partes: uma derivada de
multiplicada por
, e
multiplicada pela derivada de
.
Passo 5
Vamos reescrever as expressões obtidas:
Aqui,
é a divergência do tensor
, e
representa o produto duplo entre
e o gradiente de
.
Passo 6
Juntando as duas partes, temos:
Isso mostra exatamente o que o exercício pediu, utilizando a simetria do tensor
para chegar na igualdade final.
Resposta
Portanto, mostramos que:
quando
é um tensor simétrico.
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Qual é a definição de linha de corrente? O que indicam as linhas de corrente?
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O perfil de velocidade do escoamento de um óleo numa superfície sólida é dado por:
. Onde
é o perfil de velocidade em
e y o afastamento da superfície em (
). O óleo apresenta viscosidade absoluta de
Pa.s. Determinar a tensão de cisalhamento a 20 cm da superfície sólida.
(Sol.:0,0016 N/m²).
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Mostrar que:
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