Mostrar que um operador
é idempotente se, e somente se,
é idempotente.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um operador
no conjunto de operadores lineares
, e queremos mostrar que
é idempotente se, e somente se,
também é idempotente. Para resolver isso, vamos lembrar o que significa um operador ser idempotente e usar propriedades básicas de operadores lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um operador idempotente. Um operador
é idempotente se, ao aplicá-lo duas vezes, o resultado é o mesmo que aplicá-lo uma vez. Matematicamente, isso é expresso como:
ou seja,
Passo 3
Agora, queremos examinar o operador
, onde
é o operador identidade. Para mostrar que
é idempotente, precisamos verificar se:
Passo 4
Vamos expandir
:
Multiplicando os operadores, temos:
Como
é o operador identidade,
e
. Além disso,
. Então:
Passo 5
Assumindo que
é idempotente, ou seja,
, substituímos na expressão acima:
Portanto:
Isso mostra que
é idempotente.
Passo 6
Agora, precisamos mostrar o recíproco: se
é idempotente, então
também é idempotente. Começamos supondo que:
Usando a expansão feita anteriormente:
Simplificando:
Adicionando
aos dois lados:
Portanto,
é idempotente.
Resposta
Concluímos que um operador
é idempotente se, e somente se,
também é idempotente.
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