Mostrar que um operador F in L(V) é idempotente se, e somente se, I-F é idempotente.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um operador no conjunto de operadores lineares , e queremos mostrar que é idempotente se, e somente se, também é idempotente. Para resolver isso, vamos lembrar o que significa um operador ser idempotente e usar propriedades básicas de operadores lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um operador idempotente. Um operador F^2 = F é idempotente se, ao aplicá-lo duas vezes, o resultado é o mesmo que aplicá-lo uma vez. Matematicamente, isso é expresso como:
F circ F = F
ou seja,

Passo 3

Agora, queremos examinar o operador (I - F)^2 = I - F , onde é o operador identidade. Para mostrar que é idempotente, precisamos verificar se:

Passo 4

Vamos expandir (I - F)^2 = (I - F) circ (I - F) :
I circ I - I circ F - F circ I + F circ F
Multiplicando os operadores, temos:
I - F - F + F^2 = I - 2F + F^2
Como é o operador identidade, e . Além disso, . Então:

Passo 5

Assumindo que I - 2F + F = I - F é idempotente, ou seja, (I - F)^2 = I - F , substituímos na expressão acima:
Portanto:
Isso mostra que é idempotente.

Passo 6

Agora, precisamos mostrar o recíproco: se (I - F)^2 = I - F é idempotente, então I - 2F + F^2 = I - F também é idempotente. Começamos supondo que:
-2F + F^2 = -F
Usando a expansão feita anteriormente:
F^2 = F
Simplificando:
Adicionando aos dois lados:
Portanto, é idempotente.

Resposta

Concluímos que um operador é idempotente se, e somente se, também é idempotente.

Exercícios relacionados

Seja P uma parábola de diretriz d: x+y-4=0 e foco F(10,6)
(b) Usando argumentos geométricos, determine a equação da reta tangente a parábola P no ponto T(16,48).
Plote os seguintes cilindros em R^3 :
z=y^2+4 y-1
Plote o gráfico das seguintes funções:
f(x, y)=x^2-8 x+6 y^2
Plote o gráfico das seguintes funções:
f(x, y)=1-raizx^2+2 y^2