Seja P uma parábola de diretriz d: x+y-4=0 e foco F(10,6)
(b) Usando argumentos geométricos, determine a equação da reta tangente a parábola P no ponto T(16,48).

Passo 1

Vamos resolver a questão que pede para determinar a equação da reta tangente à parábola P no ponto T(16,48). Estamos trabalhando com Geometria Analítica, mais especificamente com propriedades das parábolas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição de parábola, a relação entre o foco e a diretriz, além de entender como encontrar a equação de uma reta tangente a uma curva em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de uma parábola. Uma parábola é o conjunto de todos os pontos (x, y) no plano que estão à mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz. Neste caso, o foco é F(10,6) e a diretriz é a reta d: x + y - 4 = 0.

Passo 3

Para encontrar a equação da parábola P, usamos a definição mencionada. A distância de um ponto (x, y) ao foco F(10,6) é igual à distância desse ponto à diretriz d: x + y - 4 = 0.
A distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é dada por:
raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
E a distância de um ponto (x, y) à reta Ax + By + C = 0 é:
|Ax + By + C|raizA^2 + B^2

Passo 4

Aplicando essas fórmulas, temos que:
raiz(x - 10)^2 + (y - 6)^2 = |x + y - 4|raiz1^2 + 1^2 = |x + y - 4|raiz2
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(x - 10)^2 + (y - 6)^2 = (x + y - 4)^22

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
2(x - 10)^2 + 2(y - 6)^2 = (x + y - 4)^2
Expandindo os termos:
2(x^2 - 20x + 100) + 2(y^2 - 12y + 36) = x^2 + 2xy + y^2 - 8x - 8y + 16
Simplificando:
2x^2 - 40x + 200 + 2y^2 - 24y + 72 = x^2 + 2xy + y^2 - 8x - 8y + 16

Passo 6

Rearranjando todos os termos para um lado da equação:
2x^2 - x^2 + 2y^2 - y^2 - 40x + 8x - 24y + 8y + 200 + 72 - 16 = 2xy
Simplificando novamente:
x^2 + y^2 - 32x - 16y + 256 = 2xy

Passo 7

Reorganizando para a forma padrão:
x^2 - 2xy + y^2 - 32x - 16y + 256 = 0
Esta é a equação geral da parábola P.

Passo 8

Agora, para encontrar a equação da reta tangente à parábola no ponto T(16,48), vamos usar o fato de que a reta tangente a uma curva em um ponto específico possui uma inclinação que corresponde à derivada da curva nesse ponto.
Primeiro, precisamos encontrar a derivada implícita da equação da parábola para obter a inclinação da tangente.

Passo 9

Derivando a equação da parábola em relação a x:
2x - 2y dydx + 2y dydx - 32 - 16 dydx = 0
Simplificando:
2x - 32 - 16 dydx = 0
Isolando dydx:
dydx = 2x - 3216 = x - 168

Passo 10

Substituindo as coordenadas do ponto T(16,48) na derivada para encontrar a inclinação da tangente:
dydx|(16,48) = 16 - 168 = 08 = 0
Isso significa que a reta tangente neste ponto tem inclinação 0, ou seja, é uma reta horizontal.

Passo 11

Como a reta tangente é horizontal e passa pelo ponto T(16,48), sua equação é simplesmente:
y = 48

Resposta

A equação da reta tangente à parábola P no ponto T(16,48) é y = 48.

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