Seja uma parábola de diretriz e foco
(b) Usando argumentos geométricos, determine a equação da reta tangente a parábola no ponto .
Passo 1
Vamos resolver a questão que pede para determinar a equação da reta tangente à parábola no ponto . Estamos trabalhando com Geometria Analítica, mais especificamente com propriedades das parábolas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição de parábola, a relação entre o foco e a diretriz, além de entender como encontrar a equação de uma reta tangente a uma curva em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de uma parábola. Uma parábola é o conjunto de todos os pontos no plano que estão à mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz. Neste caso, o foco é e a diretriz é a reta .
Passo 3
Para encontrar a equação da parábola , usamos a definição mencionada. A distância de um ponto ao foco é igual à distância desse ponto à diretriz .
A distância entre dois pontos e é dada por:
E a distância de um ponto à reta é:
Passo 4
Aplicando essas fórmulas, temos que:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Expandindo os termos:
Simplificando:
Passo 6
Rearranjando todos os termos para um lado da equação:
Simplificando novamente:
Passo 7
Reorganizando para a forma padrão:
Esta é a equação geral da parábola .
Passo 8
Agora, para encontrar a equação da reta tangente à parábola no ponto , vamos usar o fato de que a reta tangente a uma curva em um ponto específico possui uma inclinação que corresponde à derivada da curva nesse ponto.
Primeiro, precisamos encontrar a derivada implícita da equação da parábola para obter a inclinação da tangente.
Passo 9
Derivando a equação da parábola em relação a :
Simplificando:
Isolando :
Passo 10
Substituindo as coordenadas do ponto na derivada para encontrar a inclinação da tangente:
Isso significa que a reta tangente neste ponto tem inclinação 0, ou seja, é uma reta horizontal.
Passo 11
Como a reta tangente é horizontal e passa pelo ponto T(16,48), sua equação é simplesmente:
y = 48
Resposta
A equação da reta tangente à parábola P no ponto T(16,48) é y = 48.