Então, a gente tem três pontos no espaço: A(-1, 4, -3), B(2, 1, 3) e C(4, -1, 7). O objetivo é mostrar que esses três pontos estão alinhados, ou seja, que eles são colineares. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e verificar se os vetores AB e AC são paralelos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores AB e AC. O vetor AB vai de A para B, então subtraímos as coordenadas de A das de B:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor AC, que vai de A para C:
AC = (4 - (-1), -1 - 4, 7 - (-3)) = (5, -5, 10)
Passo 4
Para verificar se os vetores AB e AC são paralelos, a gente vê se um deles é múltiplo do outro. Isso significa que existe um número real k tal que:
AC = k cdot AB
Vamos comparar as componentes:
5 = k cdot 3 -5 = k cdot (-3) 10 = k cdot 6
Passo 5
Resolvendo a primeira equação:
5 = 3k Rightarrow k = 53
Vamos ver se esse k satisfaz as outras equações:
Para a segunda equação:
-5 = -3 cdot 53 Rightarrow -5 = -5 (Verdade)
E para a terceira:
10 = 6 cdot 53 Rightarrow 10 = 10 (Verdade)
Resposta
Como existe um valor de k que faz , os pontos A, B e C são colineares.