Mostrar que os pontos A(-1,4,-3), B (2,1,3) e C(4,-1,7) são colineares.

Passo 1

Então, a gente tem três pontos no espaço: A(-1, 4, -3), B(2, 1, 3) e C(4, -1, 7). O objetivo é mostrar que esses três pontos estão alinhados, ou seja, que eles são colineares. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e verificar se os vetores AB e AC são paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores AB e AC. O vetor AB vai de A para B, então subtraímos as coordenadas de A das de B:
AB = (2 - (-1), 1 - 4, 3 - (-3)) = (3, -3, 6)

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor AC, que vai de A para C:
AC = (4 - (-1), -1 - 4, 7 - (-3)) = (5, -5, 10)

Passo 4

Para verificar se os vetores AB e AC são paralelos, a gente vê se um deles é múltiplo do outro. Isso significa que existe um número real k tal que:
AC = k cdot AB
Vamos comparar as componentes:
5 = k cdot 3 -5 = k cdot (-3) 10 = k cdot 6

Passo 5

Resolvendo a primeira equação:
5 = 3k Rightarrow k = 53
Vamos ver se esse k satisfaz as outras equações:
Para a segunda equação:
-5 = -3 cdot 53 Rightarrow -5 = -5 (Verdade)
E para a terceira:
10 = 6 cdot 53 Rightarrow 10 = 10 (Verdade)

Resposta

Como existe um valor de k que faz , os pontos A, B e C são colineares.

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(b) \vec{u} \times(\vec{v} \times \vec{w})=(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w}