Sejam \vec{u}=(1,x,-1) e \vec{v}=(-2,x+1,0) vetores ortogonais.
(a) Determine todos os possíveis valores para x.

Passo 1

Estamos vendo um exercício de Álgebra envolvendo vetores. A questão nos dá dois vetores e que são ortogonais. Nosso objetivo é encontrar todos os valores possíveis para que tornam esses vetores ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou produto escalar) entre eles for igual a zero. O produto interno é calculado multiplicando as componentes correspondentes dos vetores e somando esses produtos.

Passo 3

Vamos calcular o produto interno dos vetores u cdot v = (1) times (-2) + (x) times (x + 1) + (-1) times 0 e :

Passo 4

Simplificando a expressão:
u cdot v = -2 + x(x + 1) + 0 = -2 + x^2 + x

Passo 5

Para que os vetores sejam ortogonais, o produto interno deve ser zero:
-2 + x^2 + x = 0

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática:
x^2 + x - 2 = 0
Usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de x = -b pm raizb^2 - 4ac2a :
x = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32
Onde , e .

Passo 7

Encontramos duas soluções:
x = -1 + 32 = 1 e x = -1 - 32 = -2

Resposta

Os valores possíveis para são e .

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