Sejam \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} vetores quaisquer em \mathbb{R}^{3}. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso for falsa, dê um exemplo de vetores que não satisfazem a igualdade. Caso for verdadeira, justifique em no máximo 3 linhas:
(b) \vec{u} \times(\vec{v} \times \vec{w})=(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w}

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. Estamos lidando com vetores em e queremos verificar se a igualdade é verdadeira ou falsa.

Passo 2

O produto vetorial não é associativo em geral. Isso significa que, na maioria dos casos, a ordem em que realizamos os produtos vetoriais importa e pode resultar em vetores diferentes.

Passo 3

Para demonstrar que a igualdade é falsa, vamos escolher vetores específicos. Vamos considerar:
u = 123, v = 456, w = 789

Passo 4

Primeiro, calculamos v times w = i & j & k 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 = (5 cdot 9 - 6 cdot 8)-(4 cdot 9 - 6 cdot 7)(4 cdot 8 - 5 cdot 7) = -36-3 :
u times -36-3 = i & j & k 1 & 2 & 3 -3 & 6 & -3 = (2 cdot (-3) - 3 cdot 6)-(1 cdot (-3) - 3 cdot (-3))(1 cdot 6 - 2 cdot (-3)) = -24612
Agora, calculamos :

Passo 5

Agora, calculamos u times v = i & j & k 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 = (2 cdot 6 - 3 cdot 5)-(1 cdot 6 - 3 cdot 4)(1 cdot 5 - 2 cdot 4) = -36-3 :
-36-3 times 789 = i & j & k -3 & 6 & -3 7 & 8 & 9 = (6 cdot 9 - (-3) cdot 8)-((-3) cdot 9 - (-3) cdot 7)((-3) cdot 8 - 6 cdot 7) = 5418-54
Em seguida, calculamos :

Resposta

A igualdade é falsa. Por exemplo, com , e , temos e , que são vetores diferentes.

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