Sejam A=(1,0,2), B=(4,6,5) e C vértices de um triângulo de área igual a 2.
(a) Calcule a altura relativa ao lado \overrightarrow{A B}.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com vértices em A=(1,0,2), B=(4,6,5) e C. Sabemos que a área desse triângulo é 2. O que queremos encontrar é a altura relativa ao lado AB. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como a fórmula da área de um triângulo e a distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um triângulo usando a fórmula:
Área = 12 times Base times AÁ
No nosso caso, a base é o comprimento do lado AB, e a altura é o que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos calcular o comprimento do lado AB. Para isso, usamos a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional:
Distância = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 â
Aplicando os pontos A=(1,0,2) e B=(4,6,5):
AB = raiz(4-1)^2 + (6-0)^2 + (5-2)^2 = raiz3^2 + 6^2 + 3^2 = raiz9 + 36 + 9 = raiz54 = 3raiz6

Passo 4

Agora que temos o comprimento da base AB, vamos usar a fórmula da área para encontrar a altura. Sabemos que a área é 2, então:
2 = 12 times 3raiz6 times A

Passo 5

Vamos resolver essa equação para encontrar a altura:
Multiplicando ambos os lados por 2:
4 = 3raiz6 times A
Dividindo ambos os lados por A:

Passo 6

Para simplificar, podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por A:

Resposta

A altura relativa ao lado é .

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