Sejam A=(1,0,2), B=(4,6,5) e C vértices de um triângulo de área igual a 2.
(a) Calcule a altura relativa ao lado \overrightarrow{A B}.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com vértices em A=(1,0,2), B=(4,6,5) e C. Sabemos que a área desse triângulo é 2. O que queremos encontrar é a altura relativa ao lado AB. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como a fórmula da área de um triângulo e a distância de um ponto a uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um triângulo usando a fórmula:
No nosso caso, a base é o comprimento do lado AB, e a altura é o que queremos encontrar.
Passo 3
Vamos calcular o comprimento do lado AB. Para isso, usamos a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional:
Aplicando os pontos A=(1,0,2) e B=(4,6,5):
Passo 4
Agora que temos o comprimento da base AB, vamos usar a fórmula da área para encontrar a altura. Sabemos que a área é 2, então:
Passo 5
Vamos resolver essa equação para encontrar a altura:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Dividindo ambos os lados por :
Passo 6
Para simplificar, podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por :