Simplificar: (a+b+c) times c+(a+b+c) times b+(b-c) times a

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para simplificar a expressão envolvendo produtos vetoriais:
(a+b+c) times c + (a+b+c) times b + (b-c) times a
Estamos lidando com álgebra vetorial, mais especificamente com propriedades do produto vetorial. Para resolver isso, vamos precisar usar a distributividade do produto vetorial, além de lembrar que o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero, ou seja, u times u = 0, e que u times v = -v times u.

Passo 2

Vamos começar expandindo cada termo usando a distributividade do produto vetorial:
(a+b+c) times c = a times c + b times c + c times c
(a+b+c) times b = a times b + b times b + c times b
(b-c) times a = b times a - c times a

Passo 3

Agora, sabemos que qualquer vetor cruzado consigo mesmo dá o vetor nulo:
c times c = 0
b times b = 0
Então, substituindo na expressão:
a times c + b times c + 0 + a times b + 0 + c times b + b times a - c times a

Passo 4

Simplificando a expressão eliminando os termos nulos e rearranjando:
a times c + b times c + a times b + c times b + b times a - c times a

Passo 5

Lembrando que u times v = -v times u, podemos reescrever alguns termos:
c times b = -b times c
b times a = -a times b
-c times a = a times c
Substituindo na expressão:
a times c + b times c + a times b - b times c - a times b + a times c

Passo 6

Agora, vamos ver quais termos se cancelam:
  • b times c e -b times c se anulam.
  • a times b e -a times b também se anulam.
Ficamos com:
a times c + a times c = 2,a times c

Resposta

A expressão simplificada é:
2,a times c

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