Usar transformações elementares por linha, para achar a inversa da matriz de coeficientes e o conjunto solução do sistema l2 x-y+3 z-4 w=0 3 x+y+6 z-w=1 x+y+z+w=2 x-y+z-w=3
Calcular o determinante da matriz de coeficientes deste sistema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema linear com quatro equações e quatro incógnitas: , , e . Nosso objetivo aqui é calcular o determinante da matriz de coeficientes desse sistema. Para isso, vamos usar transformações elementares nas linhas da matriz, que ajudam a simplificar o cálculo do determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz de coeficientes do sistema. Ela é formada pelos números que multiplicam as incógnitas nas equações. Assim, a matriz fica:
A = 2 & -1 & 3 & -4 3 & 1 & 6 & -1 1 & 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 & -1

Passo 3

Agora, vamos aplicar transformações elementares para transformar essa matriz em uma matriz triangular superior (onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Isso facilita o cálculo do determinante, que será o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 4

Vamos começar eliminando o primeiro elemento abaixo da diagonal na coluna 1. Para isso, podemos substituir a segunda linha pela segunda linha menos R2 = R2 - 32R1 vezes a primeira linha:
3 - 32 times 2 = 0 1 - 32 times (-1) = 1 + 32 = 52 6 - 32 times 3 = 6 - 92 = 32 -1 - 32 times (-4) = -1 + 6 = 5
Aplicando isso, a segunda linha fica:
A = 2 & -1 & 3 & -4 0 & 52 & 32 & 5 1 & 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 & -1
Então, a matriz atualizada fica:

Passo 5

Agora, vamos eliminar o primeiro elemento das linhas 3 e 4. Para a linha 3, substituímos por 1 - 12 times 2 = 0 1 - 12 times (-1) = 1 + 12 = 32 1 - 12 times 3 = 1 - 32 = -12 1 - 12 times (-4) = 1 + 2 = 3 , e para a linha 4 por 1 - 12 times 2 = 0 -1 - 12 times (-1) = -1 + 12 = -12 1 - 12 times 3 = 1 - 32 = -12 -1 - 12 times (-4) = -1 + 2 = 1 :
Para A = 2 & -1 & 3 & -4 0 & 52 & 32 & 5 0 & 32 & -12 & 3 0 & -12 & -12 & 1 :
Para :
A matriz agora é:

Passo 6

Seguimos eliminando os elementos abaixo da diagonal na coluna 2. Vamos tornar o elemento da linha 3, coluna 2, igual a zero. Para isso, substituímos R3 = R3 - 35R2 por 32 - 35 times 52 = 32 - 1510 = 0 -12 - 35 times 32 = -12 - 910 = -1410 = -75 3 - 35 times 5 = 3 - 3 = 0 :
A = 2 & -1 & 3 & -4 0 & 52 & 32 & 5 0 & 0 & -75 & 0 0 & -12 & -12 & 1
Calculando:
Então, a matriz fica:

Passo 7

Por último, vamos eliminar o elemento da linha 4, coluna 2. Substituímos R4 = R4 + 15R2 por -12 + 15 times 52 = -12 + 510 = 0 -12 + 15 times 32 = -12 + 310 = -25 1 + 15 times 5 = 1 + 1 = 2 :
A = 2 & -1 & 3 & -4 0 & 52 & 32 & 5 0 & 0 & -75 & 0 0 & 0 & -25 & 2
Calculando:
A matriz final triangular superior é:

Passo 8

Agora que temos a matriz triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Ou seja:
det(A) = 2 times 52 times (-75) times 2
Vamos calcular passo a passo:
2 times 52 = 5 5 times (-75) = -7 -7 times 2 = -14

Resposta

O determinante da matriz de coeficientes é .

Exercícios relacionados