Usar transformações elementares por linha, para achar a inversa da matriz de coeficientes e o conjunto solução do sistema
Calcular o determinante da matriz de coeficientes deste sistema.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema linear com quatro equações e quatro incógnitas: , , e . Nosso objetivo aqui é calcular o determinante da matriz de coeficientes desse sistema. Para isso, vamos usar transformações elementares nas linhas da matriz, que ajudam a simplificar o cálculo do determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz de coeficientes do sistema. Ela é formada pelos números que multiplicam as incógnitas nas equações. Assim, a matriz fica:
Agora, vamos aplicar transformações elementares para transformar essa matriz em uma matriz triangular superior (onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Isso facilita o cálculo do determinante, que será o produto dos elementos da diagonal principal.
Passo 4
Vamos começar eliminando o primeiro elemento abaixo da diagonal na coluna 1. Para isso, podemos substituir a segunda linha pela segunda linha menos R2 = R2 - 32R1 vezes a primeira linha:
3 - 32 times 2 = 0 1 - 32 times (-1) = 1 + 32 = 52 6 - 32 times 3 = 6 - 92 = 32 -1 - 32 times (-4) = -1 + 6 = 5
Agora, vamos eliminar o primeiro elemento das linhas 3 e 4. Para a linha 3, substituímos por 1 - 12 times 2 = 0 1 - 12 times (-1) = 1 + 12 = 32 1 - 12 times 3 = 1 - 32 = -12 1 - 12 times (-4) = 1 + 2 = 3 , e para a linha 4 por 1 - 12 times 2 = 0 -1 - 12 times (-1) = -1 + 12 = -12 1 - 12 times 3 = 1 - 32 = -12 -1 - 12 times (-4) = -1 + 2 = 1 :
Seguimos eliminando os elementos abaixo da diagonal na coluna 2. Vamos tornar o elemento da linha 3, coluna 2, igual a zero. Para isso, substituímos R3 = R3 - 35R2 por 32 - 35 times 52 = 32 - 1510 = 0 -12 - 35 times 32 = -12 - 910 = -1410 = -75 3 - 35 times 5 = 3 - 3 = 0 :