Mostrar que, para qualquer n in N : 7^n-1 é divisível por 6 .

Passo 1

Então, o enunciado pede para mostrarmos que, para qualquer número natural , a expressão é divisível por 6. Vamos usar conceitos de divisibilidade e propriedades de potências para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma expressão ser divisível por 6. Se um número é divisível por 6, ele também é divisível por 2 e por 3, já que 6 é o produto de 2 e 3.

Passo 3

Vamos analisar a expressão 7 equiv 1 (mod 6) . Sabemos que dividido por 6 dá resto 1, ou seja:
Isso significa que tem o mesmo resto que quando dividido por 6.

Passo 4

Agora, elevando ambos os lados da congruência à potência 7^n equiv 1^n (mod 6) :
7^n equiv 1 (mod 6)
Como , temos:

Passo 5

Subtraindo 1 de ambos os lados da congruência:
7^n - 1 equiv 0 (mod 6)
Isso significa que é divisível por 6, já que o resto da divisão por 6 é 0.

Resposta

Portanto, para qualquer , é divisível por 6.

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