Prove por indução que: Para qualquer natural
, vale
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar, usando indução matemática, que para todo número natural
, a desigualdade
é verdadeira. Para isso, vamos precisar entender o que é uma prova por indução e como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o caso base. Isso significa testar se a desigualdade funciona para o menor valor permitido de
, que é 7.
Calculando:
Então,
. Ótimo, o caso base está certo!
Passo 3
Agora, vamos supor que a desigualdade vale para algum
. Ou seja, vamos assumir que:
Esse é o nosso passo da indução.
Passo 4
Precisamos mostrar que, se a desigualdade é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para
. Vamos calcular
e ver se é maior que
.
Expandindo:
E:
Agora, usando a suposição de indução
:
Queremos mostrar que:
Como sabemos que
, adicionando
dos dois lados:
Mas pelo passo anterior sabemos que
para
, então:
Portanto, a desigualdade também vale para
.
Resposta
Pronto! Usando indução matemática, provamos que para todo número natural
,
é verdadeira.
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Mostrar que, para qualquer
:
é divisível por 6 .
Mostrar que, para qualquer
:
é múltiplo de 3 .
Mostrar que, para qualquer
:
é divisível por 3 .
Prove por indução que, para qualquer
: