Prove por indução que: Para qualquer natural n>6, vale n^2>5 n+10

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar, usando indução matemática, que para todo número natural , a desigualdade é verdadeira. Para isso, vamos precisar entender o que é uma prova por indução e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o caso base. Isso significa testar se a desigualdade funciona para o menor valor permitido de 7^2 = 49 , que é 7.
Calculando:
5 times 7 + 10 = 35 + 10 = 45
Então, . Ótimo, o caso base está certo!

Passo 3

Agora, vamos supor que a desigualdade vale para algum k^2 > 5k + 10 . Ou seja, vamos assumir que:
Esse é o nosso passo da indução.

Passo 4

Precisamos mostrar que, se a desigualdade é verdadeira para (k + 1)^2 = k^2 + 2k + 1 , então ela também é verdadeira para 5(k + 1) + 10 = 5k + 5 + 10 = 5k + 15 . Vamos calcular k^2 + 2k + 1 > (5k + 10) + 2k + 1 = 7k + 11 e ver se é maior que k^2 + 2k + 1 > 5k + 15 .
Expandindo:
k^2 + 2k + 1 > 5k + 10 + 2k + 1
E:
k^2 + 2k + 1 > 7k + 11
Agora, usando a suposição de indução k^2 + 2k + 1 > 5k + 15 :
Queremos mostrar que:
Como sabemos que , adicionando dos dois lados:
Mas pelo passo anterior sabemos que para , então:
Portanto, a desigualdade também vale para .

Resposta

Pronto! Usando indução matemática, provamos que para todo número natural , é verdadeira.

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