Mostrar que, para qualquer
:
é divisível por 3 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que, para qualquer número natural
, a expressão
é divisível por 3. Isso está ligado ao estudo de divisibilidade e propriedades de potências. Para resolver, vamos usar conceitos de aritmética modular e propriedades das potências.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma expressão ser divisível por 3. Se
é divisível por 3, então o resto da divisão de
por 3 deve ser zero. Em termos matemáticos, queremos mostrar que:
Passo 3
Vamos analisar a expressão
no contexto do módulo 3. Sabemos que
dividido por 3 dá resto 1, então:
Isso significa que qualquer potência de 4 também será congruente a 1 módulo 3:
Passo 4
Agora, substituímos
na expressão original:
E como
, concluímos que:
Resposta
Portanto, para qualquer
,
é divisível por 3.
Exercícios relacionados
Prove por indução que: Para qualquer natural
, vale
Mostrar que, para qualquer
:
é divisível por 6 .
Prove por indução que, para qualquer
:
Prove por indução que, para qualquer
: