Prove por indução que: Para qualquer natural n >= 2, vale 2^n+1<3^n

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para provar, usando indução matemática, que para todo número natural n >= 2, a desigualdade 2^n+1 < 3^n é verdadeira. Isso significa que vamos usar um método passo a passo para mostrar que a afirmação é válida para n = 2 e, se valer para um número qualquer k, também valerá para k + 1.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a base da indução, ou seja, vamos checar se a desigualdade é verdadeira para n = 2.
Calculando:
2^2+1 = 2^3 = 8
3^2 = 9
Então, 8 < 9, que é verdadeiro. A base da indução está confirmada!

Passo 3

Agora, vamos fazer a hipótese de indução. Suponha que a desigualdade seja verdadeira para algum número natural k >= 2, ou seja:
2^k+1 < 3^k
Isso é o que assumimos para mostrar que também será verdadeiro para k + 1.

Passo 4

Nosso objetivo é provar que 2^(k+1)+1 < 3^k+1. Vamos simplificar o lado esquerdo:
2^(k+1)+1 = 2^k+2 = 2^k+1 times 2
Usando a hipótese de indução:
2^k+1 < 3^k
Então:
2^k+2 = 2^k+1 times 2 < 3^k times 2
Agora, precisamos mostrar que 3^k times 2 < 3^k+1. Sabemos que:
3^k+1 = 3^k times 3
Como 2 < 3, multiplicando ambos os lados por 3^k, temos:
2 times 3^k < 3 times 3^k = 3^k+1
Portanto:
2^k+2 < 3^k+1
O que confirma que a desigualdade vale para k + 1.

Resposta

Assim, por indução matemática, provamos que para todo número natural n >= 2, a desigualdade 2^n+1 < 3^n é verdadeira.

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