Prove por indução que: Para qualquer natural
, vale
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para provar, usando indução matemática, que para todo número natural
, a desigualdade
é verdadeira. Isso significa que vamos usar um método passo a passo para mostrar que a afirmação é válida para
e, se valer para um número qualquer
, também valerá para
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a base da indução, ou seja, vamos checar se a desigualdade é verdadeira para
.
Calculando:
Então,
, que é verdadeiro. A base da indução está confirmada!
Passo 3
Agora, vamos fazer a hipótese de indução. Suponha que a desigualdade seja verdadeira para algum número natural
, ou seja:
Isso é o que assumimos para mostrar que também será verdadeiro para
.
Passo 4
Nosso objetivo é provar que
. Vamos simplificar o lado esquerdo:
Usando a hipótese de indução:
Então:
Agora, precisamos mostrar que
. Sabemos que:
Como
, multiplicando ambos os lados por
, temos:
Portanto:
O que confirma que a desigualdade vale para
.
Resposta
Assim, por indução matemática, provamos que para todo número natural
, a desigualdade
é verdadeira.
Exercícios relacionados
(a) Mostre que, se
, então
.
Resolva a equação matricial para X. Simplifique suas respostas tanto quanto possível. Assuma que todas as matrizes envolvidas sejam invertíveis.
©
©
Mostrar que, para qualquer
:
é múltiplo de 3 .
Mostrar que, para qualquer
:
é divisível por 6 .