Mostrar que, para qualquer n in N : n^3-n é múltiplo de 3 .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que, para qualquer número natural , a expressão é um múltiplo de 3. Isso envolve conceitos de divisibilidade e fatoração na matemática. Vamos precisar fatorar a expressão e verificar se ela pode ser dividida por 3 sem deixar resto.

Passo 2

Vamos começar fatorando a expressão n^3 - n = n(n^2 - 1) . Podemos fatorar em comum:

Passo 3

Observamos que n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1) é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte forma:

Passo 4

Substituindo de volta na expressão original, ficamos com:
n^3 - n = n(n - 1)(n + 1)

Passo 5

Agora, temos , que são três números consecutivos. Em qualquer três números consecutivos, pelo menos um deles é múltiplo de 3. Isso significa que o produto desses três números será necessariamente múltiplo de 3.

Passo 6

Portanto, concluímos que é sempre um múltiplo de 3 para qualquer .

Resposta

Para qualquer , é múltiplo de 3.

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