Mostrar que, para qualquer
:
é múltiplo de 3 .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que, para qualquer número natural
, a expressão
é um múltiplo de 3. Isso envolve conceitos de divisibilidade e fatoração na matemática. Vamos precisar fatorar a expressão
e verificar se ela pode ser dividida por 3 sem deixar resto.
Passo 2
Vamos começar fatorando a expressão
. Podemos fatorar
em comum:
Passo 3
Observamos que
é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte forma:
Passo 4
Substituindo de volta na expressão original, ficamos com:
Passo 5
Agora, temos
, que são três números consecutivos. Em qualquer três números consecutivos, pelo menos um deles é múltiplo de 3. Isso significa que o produto desses três números será necessariamente múltiplo de 3.
Passo 6
Portanto, concluímos que
é sempre um múltiplo de 3 para qualquer
.
Resposta
Para qualquer
,
é múltiplo de 3.
Exercícios relacionados
Prove por indução que: Para qualquer natural
, vale
(a) Mostre que, se
, então
.
Mostrar que, para qualquer
:
é divisível por 6 .
Prove por indução que: Para qualquer natural
, vale