Prove por indução que, para qualquer n in N : 1+3+6+cdots+n(n+1)2=n(n+1)(n+2)6

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que provar, usando indução matemática, que para qualquer número natural , a soma é igual a . Para isso, vamos precisar entender o que é uma prova por indução e como aplicá-la a sequências e somas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para o caso base, que geralmente é quando 1 = 1(1+1)(1+2)6 = 1 times 2 times 36 = 66 = 1 . Substituindo na soma:
Então, para , a igualdade está certinha!

Passo 3

Agora, assumimos que a fórmula funciona para um número 1 + 3 + 6 + cdots + k(k+1)2 = k(k+1)(k+2)6 qualquer. Isso é chamado de hipótese de indução. Ou seja, vamos supor que:

Passo 4

Com a hipótese de indução, precisamos mostrar que a fórmula também vale para 1 + 3 + 6 + cdots + k(k+1)2 + (k+1)(k+2)2 &= k(k+1)(k+2)6 + (k+1)(k+2)2 &= k(k+1)(k+2) + 3(k+1)(k+2)6 (colocando no mesmo denominador) &= (k+1)(k+2)(k + 3)6 &= (k+1)(k+2)(k+3)6 . Vamos somar o próximo termo da sequência, que é (k+1)(k+2)(k+3)6 = (k+1)(k+2)((k+1)+2)6 , à nossa hipótese:
Observamos que , então podemos reescrever:
Assim, mostramos que se a fórmula vale para , ela também vale para .

Passo 5

Como o caso base é verdadeiro e mostramos que se a fórmula vale para , ela também vale para , podemos concluir, pela indução matemática, que a igualdade é verdadeira para todo número natural .

Resposta

Portanto, para qualquer , a soma é igual a .

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