Prove por indução que, para qualquer
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que provar, usando indução matemática, que para qualquer número natural
, a soma
é igual a
. Para isso, vamos precisar entender o que é uma prova por indução e como aplicá-la a sequências e somas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para o caso base, que geralmente é quando
. Substituindo na soma:
Então, para
, a igualdade está certinha!
Passo 3
Agora, assumimos que a fórmula funciona para um número
qualquer. Isso é chamado de hipótese de indução. Ou seja, vamos supor que:
Passo 4
Com a hipótese de indução, precisamos mostrar que a fórmula também vale para
. Vamos somar o próximo termo da sequência, que é
, à nossa hipótese:
Observamos que
, então podemos reescrever:
Assim, mostramos que se a fórmula vale para
, ela também vale para
.
Passo 5
Como o caso base é verdadeiro e mostramos que se a fórmula vale para
, ela também vale para
, podemos concluir, pela indução matemática, que a igualdade é verdadeira para todo número natural
.
Resposta
Portanto, para qualquer
, a soma
é igual a
.
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Mostrar que, para qualquer
:
é divisível por 3 .
Prove por indução que, para qualquer
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