Prove por indução que, para qualquer
:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que provar, usando indução matemática, que para qualquer número natural
, a soma
é igual a
. A matéria que vamos usar aqui é a indução matemática, que é uma técnica para provar que uma afirmação vale para todos os números naturais. Vamos precisar verificar a base da indução e depois fazer o passo indutivo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a afirmação funciona para
.
Quando
, a soma fica apenas um termo:
E a expressão do lado direito é:
Então, para
, os dois lados são iguais:
. Isso confirma que a base da indução está ok.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a afirmação funciona para algum número
natural. Ou seja, estamos assumindo que:
Essa é a nossa hipótese de indução. Agora, precisamos mostrar que, se isso é verdade para
, então também é verdade para
.
Passo 4
Vamos considerar a soma para
:
Pela hipótese de indução, sabemos que a soma até
é
. Então, podemos substituir:
Passo 5
Agora, vamos simplificar essa expressão:
Somando dentro dos colchetes:
Então:
Passo 6
Vamos comparar com a expressão que queremos provar para
:
Vimos que a soma simplificada é exatamente
, que é igual à expressão desejada. Portanto, se a afirmação vale para
, ela também vale para
.
Resposta
Como mostramos que a base da indução é verdadeira e que se a afirmação vale para
então também vale para
, por indução matemática, a igualdade
é verdadeira para todo
.
Exercícios relacionados
Mostrar que, para qualquer
:
é divisível por 3 .
Prove por indução que: Para qualquer natural
, vale
Prove por indução que, para qualquer
:
Prove por indução que, para qualquer
: