Prove por indução que, para qualquer n in N : 1(2^0)+2(2^1)+3(2^2)+cdots+n(2^n-1)=1+(n-1) 2^n

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que provar, usando indução matemática, que para qualquer número natural n, a soma 1(2^0)+2(2^1)+3(2^2)+cdots+n(2^n-1) é igual a 1 + (n-1) 2^n. A matéria que vamos usar aqui é a indução matemática, que é uma técnica para provar que uma afirmação vale para todos os números naturais. Vamos precisar verificar a base da indução e depois fazer o passo indutivo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a afirmação funciona para n=1.
Quando n=1, a soma fica apenas um termo:
1 cdot 2^0 = 1 cdot 1 = 1
E a expressão do lado direito é:
1 + (1-1)2^1 = 1 + 0 cdot 2 = 1
Então, para n=1, os dois lados são iguais: 1 = 1. Isso confirma que a base da indução está ok.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação funciona para algum número k natural. Ou seja, estamos assumindo que:
1(2^0)+2(2^1)+3(2^2)+cdots+k(2^k-1) = 1 + (k-1) 2^k
Essa é a nossa hipótese de indução. Agora, precisamos mostrar que, se isso é verdade para n=k, então também é verdade para n=k+1.

Passo 4

Vamos considerar a soma para n = k + 1:
1(2^0)+2(2^1)+3(2^2)+cdots+k(2^k-1)+(k+1)(2^k)
Pela hipótese de indução, sabemos que a soma até k é 1 + (k-1)2^k. Então, podemos substituir:
1 + (k - 1)2^k + (k + 1)2^k

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa expressão:
1 + (k - 1)2^k + (k + 1)2^k = 1 + [(k - 1) + (k + 1)]2^k
Somando dentro dos colchetes:
(k - 1) + (k + 1) = 2k
Então:
1 + 2k cdot 2^k = 1 + k cdot 2^k+1

Passo 6

Vamos comparar com a expressão que queremos provar para n = k + 1:
1 + ((k + 1) - 1)2^k+1 = 1 + k cdot 2^k+1
Vimos que a soma simplificada é exatamente 1 + k cdot 2^k+1, que é igual à expressão desejada. Portanto, se a afirmação vale para n=k, ela também vale para n=k+1.

Resposta

Como mostramos que a base da indução é verdadeira e que se a afirmação vale para n=k então também vale para n=k+1, por indução matemática, a igualdade
1(2^0)+2(2^1)+3(2^2)+cdots+n(2^n-1) = 1 + (n-1)2^n
é verdadeira para todo n in N.

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