Sendo e dado um conjunto de elementos de .
Verifique se . Caso afirmativo escreva como uma combinação linear da base de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, o enunciado fala sobre um espaço vetorial e um conjunto de vetores que forma uma base para um subespaço de . Nosso objetivo é verificar se o vetor está dentro desse subespaço . Para isso, precisamos saber sobre combinações lineares e subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um vetor estar em . Um vetor está em se ele pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, existe uma combinação dos vetores de que resulta em .
Passo 3
Vamos traduzir isso em uma equação. Queremos encontrar escalares tais que:
Passo 4
Agora, vamos separar isso nas componentes de cada coordenada:
Simplificando, temos:
a + c = 1 a + b = 1 - a + b - 2c = 1
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de a + b = 1 Rightarrow b = 1 - a . Começamos pela segunda equação:
Passo 6
Substituímos - a + (1 - a) - 2c = 1 - a + 1 - a - 2c = 1 -2a - 2c + 1 = 1 -2a - 2c = 0 na terceira equação:
a + c = 0
Dividindo tudo por -2:
Passo 7
Agora, temos duas equações:
a + c = 1 a + c = 0
Isso parece um problema, porque temos , o que não faz sentido. Isso significa que o sistema não tem solução.
Passo 8
Como o sistema não tem solução, concluímos que não existem valores de que satisfaçam as três equações simultaneamente. Portanto, o vetor não está no subespaço .
Resposta
O vetor não pertence ao subespaço gerado pela base .