Sendo V=R^3 e dado um conjunto de elementos de V, beta=(1,1,-1) ;(0,1,1) ;(1,0,-2).
Verifique se v5=(1,1,1) in W. Caso afirmativo escreva v5 como uma combinação linear da base de W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, o enunciado fala sobre um espaço vetorial e um conjunto de vetores que forma uma base para um subespaço de . Nosso objetivo é verificar se o vetor está dentro desse subespaço . Para isso, precisamos saber sobre combinações lineares e subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um vetor estar em . Um vetor está em se ele pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, existe uma combinação dos vetores de que resulta em .

Passo 3

Vamos traduzir isso em uma equação. Queremos encontrar escalares a(1,1,-1) + b(0,1,1) + c(1,0,-2) = (1,1,1) tais que:

Passo 4

Agora, vamos separar isso nas componentes de cada coordenada:
a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 1 = 1 (componente x) a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 0 = 1 (componente y) a cdot (-1) + b cdot 1 + c cdot (-2) = 1 (componente z)
Simplificando, temos:
a + c = 1 a + b = 1 - a + b - 2c = 1

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de a + b = 1 Rightarrow b = 1 - a . Começamos pela segunda equação:

Passo 6

Substituímos - a + (1 - a) - 2c = 1 - a + 1 - a - 2c = 1 -2a - 2c + 1 = 1 -2a - 2c = 0 na terceira equação:
a + c = 0
Dividindo tudo por -2:

Passo 7

Agora, temos duas equações:
a + c = 1 a + c = 0
Isso parece um problema, porque temos , o que não faz sentido. Isso significa que o sistema não tem solução.

Passo 8

Como o sistema não tem solução, concluímos que não existem valores de que satisfaçam as três equações simultaneamente. Portanto, o vetor não está no subespaço .

Resposta

O vetor não pertence ao subespaço gerado pela base .

Exercícios relacionados

Sendo $V=R^{3}$ e dado um conjunto de elementos de $V, \beta=\{(1,1,-1) ;(0,1,1) ;(1,0,-2)\}$. Verifique se $v_{4}=(3,4,-2) \in W$. Caso afirmativo escreva $v_{4}$ como uma combinação linear da base de $W$.
Mostrar que a reta
r:l x=1+3 lambda y=-1-2 lambda z=lambda
é paralela ao plano pi: x+2 y+z+3=0.
Usando as propriedades de soma de vetores e multiplicação por escalar, resolva as seguintes equações nas incógnitas x, y e z em função de u, v e w.
b) lx+y+z=u x-z=v 3 x-2 y=w
Decida se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa.
g) |5 u|=|-5 u|=5|u|.