Mostrar que a reta é tangente à curva . Encontre o ponto de tangência.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma reta definida pela equação e uma curva representada por . O objetivo é mostrar que essa reta é tangente à curva e descobrir em qual ponto elas se tocam. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de cálculo, especialmente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação de uma curva em um ponto específico.

Passo 2

Para que a reta seja tangente à curva, ela deve tocar a curva em exatamente um ponto. Isso significa que, nesse ponto, as duas equações devem ter o mesmo valor de e a mesma inclinação.
Primeiro, igualamos as duas equações para encontrar possíveis pontos de interseção:
Simplificando a equação:
Então, temos as soluções:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora, vamos verificar em qual desses pontos a inclinação da curva é igual à inclinação da reta .
A inclinação da reta é , pois a equação está na forma , onde é a inclinação.
Para encontrar a inclinação da curva , calculamos a derivada da função:
Agora, igualamos a derivada a e resolvemos para :
Resolvendo a equação quadrática:
Então, ou .

Passo 4

Comparando os pontos de interseção e com os pontos onde a inclinação é , vendo que aparece em ambas, concluímos que no ponto a reta é realmente tangente à curva.
Agora, encontramos o ponto de tangência substituindo na equação da reta:
Portanto, o ponto de tangência é .

Resposta

A reta é tangente à curva no ponto .

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Calcule a derivada da função:
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