Mostrar que a reta
é tangente à curva
. Encontre o ponto de tangência.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma reta definida pela equação
e uma curva representada por
. O objetivo é mostrar que essa reta é tangente à curva e descobrir em qual ponto elas se tocam. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de cálculo, especialmente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação de uma curva em um ponto específico.
Passo 2
Para que a reta
seja tangente à curva, ela deve tocar a curva em exatamente um ponto. Isso significa que, nesse ponto, as duas equações devem ter o mesmo valor de
e a mesma inclinação.
Primeiro, igualamos as duas equações para encontrar possíveis pontos de interseção:
Simplificando a equação:
Então, temos as soluções:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora, vamos verificar em qual desses pontos a inclinação da curva é igual à inclinação da reta
.
A inclinação da reta
é
, pois a equação está na forma
, onde
é a inclinação.
Para encontrar a inclinação da curva
, calculamos a derivada da função:
Agora, igualamos a derivada a
e resolvemos para
:
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
ou
.
Passo 4
Comparando os pontos de interseção
e
com os pontos onde a inclinação é
, vendo que
aparece em ambas, concluímos que no ponto
a reta
é realmente tangente à curva.
Agora, encontramos o ponto de tangência substituindo
na equação da reta:
Portanto, o ponto de tangência é
.
Resposta
A reta
é tangente à curva
no ponto
.
Exercícios relacionados
Resolva as integrais usando métodos adequados:
Resolva as integrais usando métodos adequados:
Calcule a derivada da função:
Resolva as integrais usando métodos adequados: