Resolva as integrais usando métodos adequados: integral (x-1)^2 raiz2 x-x^2+8 d x9-(x-1)^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente precisa resolver a integral:
integral (x-1)^2 raiz2x - x^2 + 89 - (x-1)^2 , dx
Esse exercício está no campo das integrais, especificamente envolvendo funções racionais e radicais. Para resolver, vamos precisar entender de substituição e simplificação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada:
2x - x^2 + 8 = -x^2 + 2x + 8
Isso pode ser reescrito completando o quadrado:
-x^2 + 2x + 8 = -(x^2 - 2x) + 8 = -(x^2 - 2x + 1) + 9 = -(x-1)^2 + 9
Então, temos:
raiz2x - x^2 + 8 = raiz9 - (x-1)^2

Passo 3

Agora, vamos observar o denominador da nossa integral:
9 - (x-1)^2
Notamos que o numerador também tem um , então isso sugere que uma substituição envolvendo pode simplificar a expressão.

Passo 4

Vamos fazer a substituição:
u = x - 1 implies du = dx
Substituindo integral u^2 raiz9 - u^29 - u^2 , du = integral u^2raiz9 - u^2 , du por , a integral fica:

Passo 5

Agora, simplificamos a fração:
u^2raiz9 - u^2 = 9 - (9 - u^2)raiz9 - u^2 = 9raiz9 - u^2 - raiz9 - u^2
Então, a integral separa-se em duas partes:
integral 9raiz9 - u^2 , du - integral raiz9 - u^2 , du

Passo 6

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral 9raiz9 - u^2 , du = 9 arcsin(u3) + C1
Segunda integral:
integral raiz9 - u^2 , du = u2 raiz9 - u^2 + 92 arcsin(u3) + C2

Passo 7

Subtraindo as duas integrais, temos:
9 arcsin(u3) - ( u2 raiz9 - u^2 + 92 arcsin(u3) ) + C
Simplificando:
92 arcsin(u3) - u2 raiz9 - u^2 + C

Passo 8

Agora, voltamos para a variável original 92 arcsin(x - 13) - x - 12 raiz9 - (x - 1)^2 + C , lembrando que :

Resposta

A integral resolvida é:
92 arcsin(x - 13) - x - 12 raiz9 - (x - 1)^2 + C

Exercícios relacionados