Resolva as integrais usando métodos adequados: integral (2 x-9) d x6 x-5-x^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão nos pede. Precisamos resolver a integral:
integral 2x - 96x - 5 - x^2 , dx
Para resolver essa integral, vamos utilizar métodos de frações parciais e substituição. Precisaremos fatorar o denominador e decompor a fração para facilitar a integração.

Passo 2

Vamos começar simplificando o denominador:
6x - 5 - x^2 = -x^2 + 6x - 5
Podemos reescrever isso como:
- (x^2 - 6x + 5)
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático:
x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5)
Portanto,
6x - 5 - x^2 = - (x - 1)(x - 5)

Passo 3

Agora, a integral fica:
integral 2x - 96x - 5 - x^2 , dx = integral 2x - 9- (x - 1)(x - 5) , dx = - integral 2x - 9(x - 1)(x - 5) , dx
Precisamos expressar a fração 2x - 9(x - 1)(x - 5) em termos de frações parciais. Suponhamos que:
2x - 9(x - 1)(x - 5) = Ax - 1 + Bx - 5

Passo 4

Multiplicando ambos os lados pelo denominador (x - 1)(x - 5), obtemos:
2x - 9 = A(x - 5) + B(x - 1)
Vamos escolher valores de x para encontrar A e B. Primeiro, substituímos x = 5:
2(5) - 9 = A(5 - 5) + B(5 - 1) 10 - 9 = 0 + 4B 1 = 4B B = 14
Agora, substituímos x = 1:
2(1) - 9 = A(1 - 5) + B(1 - 1) 2 - 9 = -4A + 0 -7 = -4A A = 74

Passo 5

Agora que temos os valores de A e B, podemos reescrever a integral:
- integral ( 7/4x - 1 + 1/4x - 5 ) , dx
Vamos separar a integral:
- ( 74 integral 1x - 1 , dx + 14 integral 1x - 5 , dx )

Passo 6

Integrando cada termo:
integral 1x - a , dx = ln|x - a| + C
Aplicando isso, temos:
- ( 74 ln|x - 1| + 14 ln|x - 5| ) + C
Simplificando:
- 74 ln|x - 1| - 14 ln|x - 5| + C

Resposta

A integral é igual a:
- 74 ln|x - 1| - 14 ln|x - 5| + C

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