Resolva as integrais usando métodos adequados: integral ln ^3(x) d xx raizln ^2(x)-4

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que resolver a integral integral ln ^3(x)x raizln ^2(x)-4 , dx. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente utilizando métodos de substituição para resolver integrais que envolvem funções logarítmicas e radicais.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a integral. Observamos que temos ln(x) tanto no numerador quanto dentro da raiz. Vamos definir:
t = ln(x)
Dessa forma, a derivada de t em relação a x é:
dt = 1x dx Rightarrow dx = x , dt
Mas como t = ln(x), temos x = e^t. Portanto, dx = e^t dt.

Passo 3

Vamos substituir t e dx na integral original:
integral t^3e^t raizt^2 - 4 cdot e^t dt = integral t^3raizt^2 - 4 , dt
Aqui, simplificamos e^t nos numeradores e denominadores, tornando a integral mais simples:
integral t^3raizt^2 - 4 , dt

Passo 4

Agora, vamos fazer outra substituição para resolver essa integral mais fácil. Vamos definir:
u = t^2 - 4
Então, a derivada de u em relação a t é:
du = 2t , dt Rightarrow t , dt = du2
Precisamos expressar a integral em termos de u:
integral t^3raizu , dt = integral t^2 cdot traizu , dt = integral (u + 4) cdot traizu , dt
Substituindo t , dt por du2:
integral u + 4raizu cdot du2 = 12 integral ( u^1/2 + 4u^-1/2 ) du

Passo 5

Vamos agora integrar cada termo separadamente:
12 ( integral u^1/2 , du + 4 integral u^-1/2 , du ) = 12 ( 23 u^3/2 + 8 u^1/2 ) + C
Simplificando:
13 u^3/2 + 4 u^1/2 + C

Passo 6

Agora, vamos voltar à substituição original para expressar a resposta em termos de x. Lembrando que u = t^2 - 4 = (ln x)^2 - 4, temos:
13 ( (ln x)^2 - 4 )^3/2 + 4 ( (ln x)^2 - 4 )^1/2 + C

Resposta

A integral resolvida é:
13 ( ln^2(x) - 4 )^32 + 4 ( ln^2(x) - 4 )^12 + C

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