Resolva as integrais usando métodos adequados:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que resolver a integral
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente utilizando métodos de substituição para resolver integrais que envolvem funções logarítmicas e radicais.
Passo 2
Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a integral. Observamos que temos
tanto no numerador quanto dentro da raiz. Vamos definir:
Dessa forma, a derivada de
em relação a
é:
Mas como
, temos
. Portanto,
.
Passo 3
Vamos substituir
e
na integral original:
Aqui, simplificamos
nos numeradores e denominadores, tornando a integral mais simples:
Passo 4
Agora, vamos fazer outra substituição para resolver essa integral mais fácil. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Precisamos expressar a integral em termos de
:
Substituindo
por
:
Passo 5
Vamos agora integrar cada termo separadamente:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos voltar à substituição original para expressar a resposta em termos de
. Lembrando que
, temos:
Resposta
A integral resolvida é:
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é tangente à curva
. Encontre o ponto de tangência.
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