Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! O enunciado fala sobre duas transformações lineares, e , que operam entre espaços vetoriais diferentes. Precisamos descobrir as composições dessas transformações, ou seja, e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como a definição de transformações lineares e a composição delas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é . Isso significa que vamos aplicar a transformação primeiro e depois aplicar no resultado. Então, começamos com um vetor em , aplicamos para obter um polinômio em , e depois aplicamos nesse polinômio para chegar em .
Passo 3
Vamos calcular primeiro:
Esse é o resultado de aplicado a .
Passo 4
Agora, aplicamos nesse polinômio. A transformação pega um polinômio e transforma em um vetor . Então, vamos identificar , e .
Passo 5
Aplicando ao polinômio:
Passo 6
Vamos simplificar cada componente:
Primeiro componente:
Segundo componente:
Terceiro componente:
Passo 7
Então, a transformação fica:
Passo 8
Agora, vamos calcular . Isso significa que vamos aplicar primeiro e depois . Começamos com um polinômio em , aplicamos para obter um vetor em , e depois aplicamos nesse vetor.
Passo 9
Primeiro, aplicamos ao polinômio:
Esse é o resultado de aplicado a .
Passo 10
Agora, aplicamos nesse vetor . Usando a definição de :