Sejam
a transformação linear definida por
e
a transformação linear definida por
Determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! O enunciado fala sobre duas transformações lineares,
e
, que operam entre espaços vetoriais diferentes. Precisamos descobrir as composições dessas transformações, ou seja,
e
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como a definição de transformações lineares e a composição delas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Isso significa que vamos aplicar a transformação
primeiro e depois aplicar
no resultado. Então, começamos com um vetor
em
, aplicamos
para obter um polinômio em
, e depois aplicamos
nesse polinômio para chegar em
.
Passo 3
Vamos calcular
primeiro:
Esse é o resultado de
aplicado a
.
Passo 4
Agora, aplicamos
nesse polinômio. A transformação
pega um polinômio
e transforma em um vetor
. Então, vamos identificar
,
e
.
Passo 5
Aplicando
ao polinômio:
Passo 6
Vamos simplificar cada componente:
- Primeiro componente:
- Segundo componente:
- Terceiro componente:
Passo 7
Então, a transformação
fica:
Passo 8
Agora, vamos calcular
. Isso significa que vamos aplicar
primeiro e depois
. Começamos com um polinômio
em
, aplicamos
para obter um vetor em
, e depois aplicamos
nesse vetor.
Passo 9
Primeiro, aplicamos
ao polinômio:
Esse é o resultado de
aplicado a
.
Passo 10
Agora, aplicamos
nesse vetor
. Usando a definição de
:
Substituindo
,
e
:
Passo 11
Vamos simplificar cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Passo 12
Então, a transformação
fica: