Sejam T: R^3 P2 a transformação linear definida por
T(x, y, z)=(2 y-z)+(x+4 y-2 z) t+(-x-7 y+3 z) t^2
e S: P2 R^3 a transformação linear definida por
S(x+y t+z t^2)=(x+y-z, y-z, x+z)
Determine (S circ T)(x, y, z) e (T circ S)(x+y t+z t^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! O enunciado fala sobre duas transformações lineares, e , que operam entre espaços vetoriais diferentes. Precisamos descobrir as composições dessas transformações, ou seja, e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como a definição de transformações lineares e a composição delas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Isso significa que vamos aplicar a transformação primeiro e depois aplicar no resultado. Então, começamos com um vetor em , aplicamos para obter um polinômio em , e depois aplicamos nesse polinômio para chegar em .

Passo 3

Vamos calcular T(x, y, z) = (2y - z) + (x + 4y - 2z) t + (-x - 7y + 3z) t^2 primeiro:
Esse é o resultado de aplicado a .

Passo 4

Agora, aplicamos nesse polinômio. A transformação pega um polinômio e transforma em um vetor . Então, vamos identificar , e .

Passo 5

Aplicando S(T(x, y, z)) = S((2y - z) + (x + 4y - 2z)t + (-x - 7y + 3z)t^2) ao polinômio:
= ( (2y - z) + (x + 4y - 2z) - (-x - 7y + 3z), (x + 4y - 2z) - (-x - 7y + 3z), (2y - z) + (-x - 7y + 3z) )

Passo 6

Vamos simplificar cada componente:
  1. Primeiro componente:
(2y - z) + (x + 4y - 2z) - (-x - 7y + 3z) = 2y - z + x + 4y - 2z + x + 7y - 3z = 2x + 13y - 6z
  1. Segundo componente:
(x + 4y - 2z) - (-x - 7y + 3z) = x + 4y - 2z + x + 7y - 3z = 2x + 11y - 5z
  1. Terceiro componente:
(2y - z) + (-x - 7y + 3z) = -x - 5y + 2z

Passo 7

Então, a transformação (S circ T)(x, y, z) = (2x + 13y - 6z, 2x + 11y - 5z, -x - 5y + 2z) fica:

Passo 8

Agora, vamos calcular . Isso significa que vamos aplicar primeiro e depois . Começamos com um polinômio em , aplicamos para obter um vetor em , e depois aplicamos nesse vetor.

Passo 9

Primeiro, aplicamos S(x + y t + z t^2) = (x + y - z, y - z, x + z) ao polinômio:
Esse é o resultado de aplicado a .

Passo 10

Agora, aplicamos T(a, b, c) = (2b - c) + (a + 4b - 2c) t + (-a - 7b + 3c) t^2 nesse vetor T(x + y - z, y - z, x + z) = [2(y - z) - (x + z)] + [(x + y - z) + 4(y - z) - 2(x + z)] t + [-(x + y - z) - 7(y - z) + 3(x + z)] t^2 . Usando a definição de :
Substituindo , e :

Passo 11

Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
2(y - z) - (x + z) = 2y - 2z - x - z = -x + 2y - 3z
  1. Segundo termo:
(x + y - z) + 4(y - z) - 2(x + z) = x + y - z + 4y - 4z - 2x - 2z = -x + 5y - 7z
  1. Terceiro termo:
-(x + y - z) - 7(y - z) + 3(x + z) = -x - y + z - 7y + 7z + 3x + 3z = 2x - 8y + 11z

Passo 12

Então, a transformação (T circ S)(x + y t + z t^2) = (-x + 2y - 3z) + (-x + 5y - 7z) t + (2x - 8y + 11z) t^2 fica:

Resposta

(S circ T)(x, y, z) = (2x + 13y - 6z, 2x + 11y - 5z, -x - 5y + 2z)
(T circ S)(x + y t + z t^2) = (-x + 2y - 3z) + (-x + 5y - 7z) t + (2x - 8y + 11z) t^2

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