Provar que se u e v são vetores de um espaço vetorial então:?
u perp v então |u+v|^2=|u|^2+|v|^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, se temos dois vetores e em um espaço vetorial e eles são perpendiculares ( ), então o quadrado da norma da soma desses vetores é igual à soma dos quadrados das normas individuais. Ou seja, . Para resolver isso, vamos usar propriedades de vetores e a definição de norma e produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor é dada por , onde representa o produto interno entre vetores. Portanto, . Vamos aplicar isso à norma de .

Passo 3

Calculando |u + v|^2 = (u + v) cdot (u + v) , temos:
Agora, expandimos esse produto usando a propriedade distributiva do produto interno.

Passo 4

Expandindo, ficamos com:
(u + v) cdot (u + v) = u cdot u + u cdot v + v cdot u + v cdot v
Sabemos que , então podemos simplificar.

Passo 5

Como |u + v|^2 = u cdot u + 0 + 0 + v cdot v , o produto interno . Então, substituindo na equação:

Passo 6

Simplificando ainda mais, temos:
|u + v|^2 = u cdot u + v cdot v
E lembrando que e , substituímos de volta.

Passo 7

Finalmente, chegamos a:
|u + v|^2 = |u|^2 + |v|^2
Isso prova o que queríamos mostrar!

Resposta

Provar que quando e são vetores perpendiculares está feito conforme os passos acima.

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