Provar que se
e
são vetores de um espaço vetorial então:?
então
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, se temos dois vetores
e
em um espaço vetorial e eles são perpendiculares (
), então o quadrado da norma da soma desses vetores é igual à soma dos quadrados das normas individuais. Ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar propriedades de vetores e a definição de norma e produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor
é dada por
, onde
representa o produto interno entre vetores. Portanto,
. Vamos aplicar isso à norma de
.
Passo 3
Calculando
, temos:
Agora, expandimos esse produto usando a propriedade distributiva do produto interno.
Passo 4
Expandindo, ficamos com:
Sabemos que
, então podemos simplificar.
Passo 5
Como
, o produto interno
. Então, substituindo na equação:
Passo 6
Simplificando ainda mais, temos:
E lembrando que
e
, substituímos de volta.
Passo 7
Finalmente, chegamos a:
Isso prova o que queríamos mostrar!
Resposta
Provar que
quando
e
são vetores perpendiculares está feito conforme os passos acima.
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e
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, dado
e
.