Mostrar que é subespaço de o seguinte subconjunto

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um conjunto de matrizes 2x2 com números reais, onde a segunda entrada da primeira linha é igual a menos a primeira entrada. Nosso objetivo é mostrar que esse conjunto é um subespaço de , que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. Para isso, vamos precisar lembrar dos critérios que definem um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se:
  1. não está vazio (ou seja, contém pelo menos o vetor zero).
  2. Se você pegar dois vetores em e somar, o resultado também está em (fechamento em relação à adição).
  3. Se você multiplicar um vetor de por um escalar, o resultado também está em (fechamento em relação à multiplicação por escalar).
Vamos verificar cada um desses pontos para o nosso conjunto .

Passo 3

1. não está vazio:
Precisamos mostrar que a matriz zero está em . A matriz zero em é:
Aqui, e , e de fato (porque ). Então, a matriz zero pertence a . Portanto, não está vazio.

Passo 4

2. Fechamento em relação à adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em :
Sabemos que e .
Vamos somar e :
Agora, vamos verificar se :
Então, a segunda entrada da primeira linha da matriz também satisfaz . Portanto, está em . Assim, é fechado em relação à adição.

Passo 5

3. Fechamento em relação à multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz qualquer em :
Sabemos que .
Agora, vamos multiplicar por um escalar :
Vamos verificar se a segunda entrada da primeira linha ainda é igual a menos a primeira entrada:
Então, , o que significa que também satisfaz . Portanto, está em . Assim, é fechado em relação à multiplicação por escalar.

Resposta

Como verificamos que não está vazio, é fechado em relação à adição e à multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço de .

Exercícios relacionados

Sejam e . Considere . Determine valor sem calcular a matriz .
Resposta: 144
Sejam e matrizes inversíveis tais que e . Sabendo-se que , então o determinante de é igual a:
a.
Seja o espaço vetorial das funções reais de variável real. Mostre que são subespaço de .
c)
Sejam e matrizes inversíveis tais que e . Sabendo-se que , então o determinante de é igual a:
c.