Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um conjunto de matrizes 2x2 com números reais, onde a segunda entrada da primeira linha é igual a menos a primeira entrada. Nosso objetivo é mostrar que esse conjunto é um subespaço de , que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. Para isso, vamos precisar lembrar dos critérios que definem um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se:
não está vazio (ou seja, contém pelo menos o vetor zero).
Se você pegar dois vetores em e somar, o resultado também está em (fechamento em relação à adição).
Se você multiplicar um vetor de por um escalar, o resultado também está em (fechamento em relação à multiplicação por escalar).
Vamos verificar cada um desses pontos para o nosso conjunto .
Passo 3
1. 0 & 0 0 & 0 não está vazio:
Precisamos mostrar que a matriz zero está em . A matriz zero em é:
Aqui, e , e de fato (porque ). Então, a matriz zero pertence a . Portanto, não está vazio.
Passo 4
2. Fechamento em relação à adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em A = x1 & y1 z1 & t1 , B = x2 & y2 z2 & t2 :
A + B = x1 + x2 & y1 + y2 z1 + z2 & t1 + t2
Sabemos que y1 + y2 = -x1 - x2 = -(x1 + x2) e .
Vamos somar e :
Agora, vamos verificar se :
Então, a segunda entrada da primeira linha da matriz também satisfaz . Portanto, está em . Assim, é fechado em relação à adição.
Passo 5
3. Fechamento em relação à multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz qualquer em A = x & y z & t :
cA = c x & c y c z & c t
Sabemos que c y = c (-x) = - (c x) .
Agora, vamos multiplicar por um escalar :
Vamos verificar se a segunda entrada da primeira linha ainda é igual a menos a primeira entrada:
Então, , o que significa que também satisfaz . Portanto, está em . Assim, é fechado em relação à multiplicação por escalar.
Resposta
Como verificamos que não está vazio, é fechado em relação à adição e à multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço de .