Seja o espaço vetorial das funções reais de variável real. Mostre que são subespaço de .
c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrarmos que o conjunto é um subespaço do espaço vetorial . Aqui, estamos lidando com conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar três coisas fundamentais: se não está vazio, se é fechado sob adição de funções e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos checar se não está vazio. Isso é importante porque, para ser um subespaço, o conjunto precisa ter pelo menos o vetor zero (ou, no nosso caso, a função zero).
A função zero para todo atende a condição , já que . Isso significa que contém pelo menos a função zero, então não está vazio.

Passo 3

Agora, vamos verificar se é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas funções quaisquer e que estão em , a soma também deve estar em .
Vamos verificar:
Como , a função também satisfaz a condição para estar em . Portanto, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos ver se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegarmos uma função em e multiplicarmos por um escalar , a função também deve estar em .
Vamos verificar:
Como , a função também satisfaz a condição para estar em . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como não está vazio, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que é de fato um subespaço do espaço vetorial .

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Mostrar que é subespaço de o seguinte subconjunto
Sejam e . Considere . Determine valor sem calcular a matriz .
Resposta: 144
Sejam e matrizes inversíveis tais que e . Sabendo-se que , então o determinante de é igual a:
c.
Sejam e matrizes inversíveis tais que e . Sabendo-se que , então o determinante de é igual a:
b.