Seja V=f: R R o espaço vetorial das funções reais de variável real. Mostre que são subespaço de V.
c) S3=f: R R ; f(-x)=-f(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrarmos que o conjunto é um subespaço do espaço vetorial . Aqui, estamos lidando com conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar três coisas fundamentais: se não está vazio, se é fechado sob adição de funções e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos checar se não está vazio. Isso é importante porque, para ser um subespaço, o conjunto precisa ter pelo menos o vetor zero (ou, no nosso caso, a função zero).
A função zero para todo atende a condição , já que . Isso significa que contém pelo menos a função zero, então não está vazio.

Passo 3

Agora, vamos verificar se (f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = -f(x) + (-g(x)) = -(f(x) + g(x)) = -(f + g)(x) é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas funções quaisquer e que estão em , a soma também deve estar em .
Vamos verificar:
Como , a função também satisfaz a condição para estar em . Portanto, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos ver se (c cdot f)(-x) = c cdot f(-x) = c cdot (-f(x)) = -c cdot f(x) = -(c cdot f)(x) é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegarmos uma função em e multiplicarmos por um escalar , a função também deve estar em .
Vamos verificar:
Como , a função também satisfaz a condição para estar em . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como não está vazio, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que é de fato um subespaço do espaço vetorial .

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