Seja
o espaço vetorial das funções reais de variável real. Mostre que são subespaço de
.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrarmos que o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
. Aqui, estamos lidando com conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar três coisas fundamentais: se
não está vazio, se é fechado sob adição de funções e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos checar se
não está vazio. Isso é importante porque, para ser um subespaço, o conjunto precisa ter pelo menos o vetor zero (ou, no nosso caso, a função zero).
A função zero
para todo
atende a condição
, já que
. Isso significa que
contém pelo menos a função zero, então não está vazio.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas funções quaisquer
e
que estão em
, a soma
também deve estar em
.
Vamos verificar:
Como
, a função
também satisfaz a condição para estar em
. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos ver se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegarmos uma função
em
e multiplicarmos por um escalar
, a função
também deve estar em
.
Vamos verificar:
Como
, a função
também satisfaz a condição para estar em
. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
não está vazio, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
é de fato um subespaço do espaço vetorial
.