Seja o espaço vetorial das funções reais de variável real. Mostre que são subespaço de .
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrarmos que o conjunto é um subespaço do espaço vetorial . Aqui, estamos lidando com conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar três coisas fundamentais: se não está vazio, se é fechado sob adição de funções e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos checar se não está vazio. Isso é importante porque, para ser um subespaço, o conjunto precisa ter pelo menos o vetor zero (ou, no nosso caso, a função zero).
A função zero para todo atende a condição , já que . Isso significa que contém pelo menos a função zero, então não está vazio.
Passo 3
Agora, vamos verificar se é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas funções quaisquer e que estão em , a soma também deve estar em .
Vamos verificar:
Como , a função também satisfaz a condição para estar em . Portanto, é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos ver se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegarmos uma função em e multiplicarmos por um escalar , a função também deve estar em .
Vamos verificar:
Como , a função também satisfaz a condição para estar em . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como não está vazio, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que é de fato um subespaço do espaço vetorial .