Sejam e . Considere . Determine valor sem calcular a matriz .
Resposta: 144

Passo 1

Vamos lá! A questão nos dá duas matrizes, e , e define . Nosso objetivo é encontrar o valor de sem precisar calcular a matriz . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a determinantes e matrizes semelhantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é similar a , ou seja, . Matrizes semelhantes têm várias propriedades em comum, como os mesmos valores próprios e o mesmo determinante. Isso significa que podemos usar essas propriedades para simplificar nosso cálculo.

Passo 3

Sabemos que a função determinante tem a propriedade de ser multiplicativa em matrizes similares. Mais precisamente, para qualquer função polinomial aplicada a , como , temos:
No entanto, isso pode ser simplificado utilizando a propriedade de que determinantes de matrizes semelhantes são iguais, ou seja:

Passo 4

Agora, precisamos calcular . Primeiro, elevamos a matriz ao quadrado:
Em seguida, somamos a :

Passo 5

Agora, precisamos calcular o determinante de . Como essa matriz é diagonal, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:

Resposta

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Sejam e matrizes inversíveis tais que e . Sabendo-se que , então o determinante de é igual a:
a.
Seja o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em e por
c) Mostre que .
Mostrar que é subespaço de o seguinte subconjunto
Seja o espaço vetorial das funções reais de variável real. Mostre que são subespaço de .
c)