Sejam D=(lll1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3) e P=(lll7 & 0 & 2 0 & 1 & 0 2 & 0 & 5). Considere A=P^-1 D P. Determine valor de det(A^2+A) sem calcular a matriz A.
Resposta: 144

Passo 1

Vamos lá! A questão nos dá duas matrizes, e , e define . Nosso objetivo é encontrar o valor de sem precisar calcular a matriz . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a determinantes e matrizes semelhantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é similar a , ou seja, . Matrizes semelhantes têm várias propriedades em comum, como os mesmos valores próprios e o mesmo determinante. Isso significa que podemos usar essas propriedades para simplificar nosso cálculo.

Passo 3

Sabemos que a função determinante tem a propriedade de ser multiplicativa em matrizes similares. Mais precisamente, para qualquer função polinomial aplicada a det(A^2 + A) = det(P^-1 D P)^2 + det(P^-1 D P) , como det(A^2 + A) = det(D^2 + D) , temos:
No entanto, isso pode ser simplificado utilizando a propriedade de que determinantes de matrizes semelhantes são iguais, ou seja:

Passo 4

Agora, precisamos calcular D^2 = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 ^2 = 1^2 & 0 & 0 0 & 2^2 & 0 0 & 0 & 3^2 = 1 & 0 & 0 0 & 4 & 0 0 & 0 & 9 . Primeiro, elevamos a matriz D^2 + D = 1 & 0 & 0 0 & 4 & 0 0 & 0 & 9 + 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 = 2 & 0 & 0 0 & 6 & 0 0 & 0 & 12 ao quadrado:
Em seguida, somamos a :

Passo 5

Agora, precisamos calcular o determinante de det(D^2 + D) = 2 times 6 times 12 = 144 . Como essa matriz é diagonal, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:

Resposta

det(A^2 + A) = 144

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