Sejam e . Considere . Determine valor sem calcular a matriz .
Resposta: 144
Passo 1
Vamos lá! A questão nos dá duas matrizes, e , e define . Nosso objetivo é encontrar o valor de sem precisar calcular a matriz . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a determinantes e matrizes semelhantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que é similar a , ou seja, . Matrizes semelhantes têm várias propriedades em comum, como os mesmos valores próprios e o mesmo determinante. Isso significa que podemos usar essas propriedades para simplificar nosso cálculo.
Passo 3
Sabemos que a função determinante tem a propriedade de ser multiplicativa em matrizes similares. Mais precisamente, para qualquer função polinomial aplicada a , como , temos:
No entanto, isso pode ser simplificado utilizando a propriedade de que determinantes de matrizes semelhantes são iguais, ou seja:
Passo 4
Agora, precisamos calcular . Primeiro, elevamos a matriz ao quadrado:
Em seguida, somamos a :
Passo 5
Agora, precisamos calcular o determinante de . Como essa matriz é diagonal, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal: