Sejam A e C matrizes n times n inversíveis tais que det(In+C^-1 A)=1 / 3 e det(A)=5. Sabendo-se que B=3(A^-1+C^-1)^T, então o determinante de B é igual a:
c. 1 / 5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre matrizes quadradas e de ordem que são inversíveis. A gente sabe que e . Precisamos encontrar o determinante da matriz . Para resolver isso, vamos usar propriedades de determinantes e matrizes inversas.

Passo 2

Primeiro, lembramos que para qualquer matriz inversível det(C^-1) = 1det(C) , o determinante de det(A^-1) = 1det(A) = 15 é igual a . Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão . Sabemos que . Isso nos ajuda a relacionar os determinantes de e . Sabendo que devido à propriedade de determinante de produtos, podemos usar esta relação para encontrar a conexão entre e .

Passo 4

Queremos encontrar det((A^-1 + C^-1)^T) = det(A^-1 + C^-1) onde det(3M) = 3^n det(M) . Vamos primeiro simplificar det(B) = 3^n det(A^-1 + C^-1) . Sabendo que , temos:
E multiplicando por 3, usamos a propriedade de determinante de uma matriz multiplicada por um escalar:
Como , então:
Mas como o enunciado não especifica o valor de , vamos assumir que para simplificar (caso contrário, precisaríamos de mais informações).

Passo 5

Assumindo det(B) = 3 cdot det(A^-1 + C^-1) , temos:
Sabemos que e precisamos relacionar isso com . A relação nos dá informação sobre como e estão relacionadas, mas para simplificar, podemos considerar que também seja e que, para , seja tal que .

Resposta

O determinante de é igual a .

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