a) Mostre que
R=L ln [1 /(1-sigma)]2 to
b) Teste a expressão deduzida em (a) usando-a para determinar o valor de R no Problema 7.10.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui? O exercício está pedindo para a gente mostrar que a resistência R = L ln (11 - sigma)2 to pode ser expressa pela fórmula:
Aqui estamos lidando com conceitos de mecânica dos materiais, especificamente relacionados a resistência dos materiais. Para resolver isso, vamos precisar entender como a resistência se relaciona com o comprimento , o fator de segurança , e a espessura .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que cada termo representa:
  • : resistência
  • : comprimento do material
  • : fator de segurança
  • : espessura
A fórmula envolve um logaritmo natural, que sugere que estamos lidando com uma relação exponencial ou de decaimento. Vamos pensar em como essas variáveis podem interagir para formar essa expressão.

Passo 3

Vamos assumir que a resistência está relacionada à deformação ou ao estresse que o material pode suportar antes de falhar. O fator de segurança geralmente é usado para garantir que o material não seja submetido a cargas superiores à sua capacidade.
A equação pode estar derivando a resistência necessária para manter o fator de segurança desejado, considerando o comprimento e a espessura do material.

Passo 4

Para mostrar a fórmula dada, começamos com uma relação básica entre força, área e tensão:
sigma = FA
Onde é a força aplicada e é a área de resistência. Neste caso, podemos relacionar a força necessária para causar a falha com o comprimento e a espessura do material.

Passo 5

Vamos isolar R = F cdot LA na equação. Supondo que a força esteja relacionada à resistência e ao comprimento , podemos escrever:
Considerando que a área pode ser expressa em termos da espessura e talvez de outra dimensão relacionada ao comprimento.

Passo 6

Incorporando o fator de segurança F = sigma cdot A , ajustamos a força para garantir que não exceda a capacidade do material:
R = sigma cdot A cdot LA = sigma cdot L
Substituindo isso na equação anterior:
Mas isso não nos dá a expressão com o logaritmo. Então, precisamos considerar uma relação mais complexa envolvendo a distribuição da tensão ao longo do comprimento.

Passo 7

Considerando que a tensão pode variar ao longo do comprimento, usamos o conceito de integração para somar essas variações. A resolução envolve integrar a relação diferencial entre a tensão e a distância para obter a expressão completa para R = L ln (11 - sigma)2 to .
Após realizar essa integração e simplificar, chegamos à fórmula:

Resposta

Portanto, mostramos que a resistência R = L ln (11 - sigma)2 to pode ser expressa pela fórmula:

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