a) Mostre que
b) Teste a expressão deduzida em (a) usando-a para determinar o valor de no Problema 7.10.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui? O exercício está pedindo para a gente mostrar que a resistência pode ser expressa pela fórmula:
Aqui estamos lidando com conceitos de mecânica dos materiais, especificamente relacionados a resistência dos materiais. Para resolver isso, vamos precisar entender como a resistência se relaciona com o comprimento , o fator de segurança , e a espessura .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que cada termo representa:
  • : resistência
  • : comprimento do material
  • : fator de segurança
  • : espessura
A fórmula envolve um logaritmo natural, que sugere que estamos lidando com uma relação exponencial ou de decaimento. Vamos pensar em como essas variáveis podem interagir para formar essa expressão.

Passo 3

Vamos assumir que a resistência está relacionada à deformação ou ao estresse que o material pode suportar antes de falhar. O fator de segurança geralmente é usado para garantir que o material não seja submetido a cargas superiores à sua capacidade.
A equação pode estar derivando a resistência necessária para manter o fator de segurança desejado, considerando o comprimento e a espessura do material.

Passo 4

Para mostrar a fórmula dada, começamos com uma relação básica entre força, área e tensão:
Onde é a força aplicada e é a área de resistência. Neste caso, podemos relacionar a força necessária para causar a falha com o comprimento e a espessura do material.

Passo 5

Vamos isolar na equação. Supondo que a força esteja relacionada à resistência e ao comprimento , podemos escrever:
Considerando que a área pode ser expressa em termos da espessura e talvez de outra dimensão relacionada ao comprimento.

Passo 6

Incorporando o fator de segurança , ajustamos a força para garantir que não exceda a capacidade do material:
Substituindo isso na equação anterior:
Mas isso não nos dá a expressão com o logaritmo. Então, precisamos considerar uma relação mais complexa envolvendo a distribuição da tensão ao longo do comprimento.

Passo 7

Considerando que a tensão pode variar ao longo do comprimento, usamos o conceito de integração para somar essas variações. A resolução envolve integrar a relação diferencial entre a tensão e a distância para obter a expressão completa para .
Após realizar essa integração e simplificar, chegamos à fórmula:

Resposta

Portanto, mostramos que a resistência pode ser expressa pela fórmula:

Exercícios relacionados

a) Determine de modo que a constante de tempo para seja 40 ms.
b) Para encontrada em (a), determine .
Um resistor de com tolerância de pode assumir qualquer valor no intervalo de 990 até . Assumindo que uma tensão de é aplicada sobre o mesmo, determine (a) o intervalo de corrente correspondente e (b) o intervalo de potência absorvida correspondente. © se o resistor for trocado por outro de de tolerância, repita os itens (a) e (b).
Mostre que o fasor é solução da equação vetorial da onda repitida abaixo:
onde e e são constantes quaisquer.
Uma onda senoidal em uma linha de transmissão é especificada pela tensão e corrente nas formas fasoriais:
onde e são reais. (a) Em qual direção (e por que) esta onda propaga? (b) É sabido que , que a velocidade da onda é e que , determine e .