a) Mostre que
b) Teste a expressão deduzida em (a) usando-a para determinar o valor de
no Problema 7.10.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui? O exercício está pedindo para a gente mostrar que a resistência
pode ser expressa pela fórmula:
Aqui estamos lidando com conceitos de mecânica dos materiais, especificamente relacionados a resistência dos materiais. Para resolver isso, vamos precisar entender como a resistência
se relaciona com o comprimento
, o fator de segurança
, e a espessura
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que cada termo representa:
-
: resistência -
: comprimento do material -
: fator de segurança -
: espessura
A fórmula envolve um logaritmo natural, que sugere que estamos lidando com uma relação exponencial ou de decaimento. Vamos pensar em como essas variáveis podem interagir para formar essa expressão.
Passo 3
Vamos assumir que a resistência
está relacionada à deformação ou ao estresse que o material pode suportar antes de falhar. O fator de segurança
geralmente é usado para garantir que o material não seja submetido a cargas superiores à sua capacidade.
A equação pode estar derivando a resistência necessária para manter o fator de segurança desejado, considerando o comprimento e a espessura do material.
Passo 4
Para mostrar a fórmula dada, começamos com uma relação básica entre força, área e tensão:
Onde
é a força aplicada e
é a área de resistência. Neste caso, podemos relacionar a força necessária para causar a falha com o comprimento e a espessura do material.
Passo 5
Vamos isolar
na equação. Supondo que a força
esteja relacionada à resistência
e ao comprimento
, podemos escrever:
Considerando que a área
pode ser expressa em termos da espessura
e talvez de outra dimensão relacionada ao comprimento.
Passo 6
Incorporando o fator de segurança
, ajustamos a força para garantir que não exceda a capacidade do material:
Substituindo isso na equação anterior:
Mas isso não nos dá a expressão com o logaritmo. Então, precisamos considerar uma relação mais complexa envolvendo a distribuição da tensão ao longo do comprimento.
Passo 7
Considerando que a tensão pode variar ao longo do comprimento, usamos o conceito de integração para somar essas variações. A resolução envolve integrar a relação diferencial entre a tensão e a distância para obter a expressão completa para
.
Após realizar essa integração e simplificar, chegamos à fórmula:
Resposta
Portanto, mostramos que a resistência
pode ser expressa pela fórmula: