Mostre que o fasor Ex=A e^j(k0 z+phi) é solução da equação vetorial da onda repitida abaixo:
partial^2 Expartial z^2=epsilon0 mu0 partial^2 Expartial t^2
onde k0=omega raizepsilon0 mu0 e phi e A são constantes quaisquer.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que mostrar que o fasor partial^2 Expartial z^2 = epsilon0 mu0 partial^2 Expartial t^2 é solução da equação da onda vetorial:
Aqui, estamos lidando com ondas eletromagnéticas, e vamos precisar usar derivadas parciais e propriedades de exponenciais complexas. Também vamos usar que . Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de Ex = A e^j(k0 z + phi) em relação a partial Expartial z = A cdot j k0 e^j(k0 z + phi) = j k0 Ex . Temos:
partial^2 Expartial z^2 = j k0 cdot j k0 Ex = -k0^2 Ex
A derivada de em relação a é:
Agora, derivamos de novo para obter a segunda derivada:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de Ex = A e^j(k0 z - omega t + phi) em relação ao tempo partial Expartial t = A cdot (-j omega) e^j(k0 z - omega t + phi) = -j omega Ex . Para isso, precisamos expressar partial^2 Expartial t^2 = -j omega cdot (-j omega) Ex = -omega^2 Ex em termos de . Sabemos que a onda também depende do tempo através da expressão , então vamos considerar que:
A derivada de em relação a é:
Derivando de novo:

Passo 4

Agora que temos as duas segundas derivadas, vamos substituir na equação da onda:
partial^2 Expartial z^2 = -k0^2 Ex
e
epsilon0 mu0 partial^2 Expartial t^2 = epsilon0 mu0 (-omega^2) Ex = -epsilon0 mu0 omega^2 Ex
Para que -k0^2 Ex = -epsilon0 mu0 omega^2 Ex seja solução da equação, devemos ter:
k0^2 = epsilon0 mu0 omega^2
Simplificando ambos os lados:

Passo 5

Lembra que foi dado que k0^2 = (omega raizepsilon0 mu0)^2 = omega^2 epsilon0 mu0 . Vamos verificar se isso satisfaz a igualdade que encontramos:
Viu só? Isso confirma que , exatamente o que precisávamos para que seja solução da equação da onda.

Resposta

Portanto, mostramos que satisfaz a equação vetorial da onda, confirmando que é uma solução válida.

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