Mostre que o fasor é solução da equação vetorial da onda repitida abaixo:
onde e e são constantes quaisquer.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que mostrar que o fasor é solução da equação da onda vetorial:
Aqui, estamos lidando com ondas eletromagnéticas, e vamos precisar usar derivadas parciais e propriedades de exponenciais complexas. Também vamos usar que . Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de em relação a . Temos:
A derivada de em relação a é:
Agora, derivamos de novo para obter a segunda derivada:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação ao tempo . Para isso, precisamos expressar em termos de . Sabemos que a onda também depende do tempo através da expressão , então vamos considerar que:
A derivada de em relação a é:
Derivando de novo:

Passo 4

Agora que temos as duas segundas derivadas, vamos substituir na equação da onda:
e
Para que seja solução da equação, devemos ter:
Simplificando ambos os lados:

Passo 5

Lembra que foi dado que . Vamos verificar se isso satisfaz a igualdade que encontramos:
Viu só? Isso confirma que , exatamente o que precisávamos para que seja solução da equação da onda.

Resposta

Portanto, mostramos que satisfaz a equação vetorial da onda, confirmando que é uma solução válida.

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