Mostre que o fasor
é solução da equação vetorial da onda repitida abaixo:
onde
e
e
são constantes quaisquer.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que mostrar que o fasor
é solução da equação da onda vetorial:
Aqui, estamos lidando com ondas eletromagnéticas, e vamos precisar usar derivadas parciais e propriedades de exponenciais complexas. Também vamos usar que
. Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
. Temos:
A derivada de
em relação a
é:
Agora, derivamos de novo para obter a segunda derivada:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação ao tempo
. Para isso, precisamos expressar
em termos de
. Sabemos que a onda também depende do tempo através da expressão
, então vamos considerar que:
A derivada de
em relação a
é:
Derivando de novo:
Passo 4
Agora que temos as duas segundas derivadas, vamos substituir na equação da onda:
e
Para que
seja solução da equação, devemos ter:
Simplificando ambos os lados:
Passo 5
Lembra que foi dado que
. Vamos verificar se isso satisfaz a igualdade que encontramos:
Viu só? Isso confirma que
, exatamente o que precisávamos para que
seja solução da equação da onda.
Resposta
Portanto, mostramos que
satisfaz a equação vetorial da onda, confirmando que é uma solução válida.