Uma onda senoidal em uma linha de transmissão é especificada pela tensão e corrente nas formas fasoriais:
onde
e
são reais. (a) Em qual direção (e por que) esta onda propaga? (b) É sabido que
, que a velocidade da onda é
e que
, determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre ondas senoidais em uma linha de transmissão. A gente tem duas equações que descrevem a tensão
e a corrente
ao longo da linha:
Aqui,
e
são valores reais,
é a constante de fase, e
é a diferença de fase entre tensão e corrente. Vamos resolver duas partes desse exercício:
a) Determinar para qual direção a onda está propagando e por quê.
b) Calcular a capacitância
e o comprimento de onda
usando os valores fornecidos:
, velocidade da onda
e frequência angular
.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): determinar a direção de propagação da onda. Para isso, precisamos olhar para os termos no expoente das equações.
A expressão geral de uma onda que se propaga ao longo do eixo
é:
Aqui,
é a constante de fase e
é a frequência angular. A direção da propagação depende do sinal no expoente. Se for
, a onda se propaga para
. Se for
, a onda vai para
.
No nosso caso, a expressão é:
Não há termo de tempo explícito, mas comparando com a forma geral, podemos ver que o sinal no expoente é positivo, indicando que a onda está se movendo na direção positiva de
.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b): calcular a capacitância
e o comprimento de onda
.
Primeiro, precisamos lembrar que em uma linha de transmissão, as relações fundamentais são dadas por:
E o comprimento de onda
está relacionado com a constante de fase
pela fórmula:
Vamos usar essas relações para encontrar
e
.
Passo 4
Vamos começar encontrando a capacitância
. Sabemos que:
Queremos isolar
:
Agora, vamos substituir os valores que temos:
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos calcular isso passo a passo:
Primeiro, calcule
:
Agora, multiplique por
:
Então,
Ou seja,
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o comprimento de onda
. Lembra que:
Primeiro, precisamos encontrar
. Sabemos que a velocidade da onda
é relacionada à frequência angular
pela equação:
Vamos isolar
:
Substituindo os valores:
Então,
Passo 7
Agora que temos
, podemos calcular
:
Arredondando,
.
Resposta
a) A onda propaga-se na direção positiva de
porque o termo no expoente é
, indicando movimento para
.
b) A capacitância
é
e o comprimento de onda
é aproximadamente
.