Uma onda senoidal em uma linha de transmissão é especificada pela tensão e corrente nas formas fasoriais:
Vs(z)=V0 e^j beta z e Is(z)=I0 e^j beta z e^j phi
onde V0 e I0 são reais. (a) Em qual direção (e por que) esta onda propaga? (b) É sabido que L=200 nH / m, que a velocidade da onda é vp=2,5 times 10^8 m / s e que omega=10^8 rad / s, determine C e lambda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre ondas senoidais em uma linha de transmissão. A gente tem duas equações que descrevem a tensão Vs(z) = V0 e^j beta z e a corrente Is(z) = I0 e^j beta z e^j phi ao longo da linha:
Aqui, e são valores reais, é a constante de fase, e é a diferença de fase entre tensão e corrente. Vamos resolver duas partes desse exercício:
a) Determinar para qual direção a onda está propagando e por quê.
b) Calcular a capacitância e o comprimento de onda usando os valores fornecidos: , velocidade da onda e frequência angular .

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): determinar a direção de propagação da onda. Para isso, precisamos olhar para os termos no expoente das equações.
A expressão geral de uma onda que se propaga ao longo do eixo e^j(beta z - omega t) é:
e^j beta z
Aqui, é a constante de fase e é a frequência angular. A direção da propagação depende do sinal no expoente. Se for , a onda se propaga para . Se for , a onda vai para .
No nosso caso, a expressão é:
Não há termo de tempo explícito, mas comparando com a forma geral, podemos ver que o sinal no expoente é positivo, indicando que a onda está se movendo na direção positiva de .

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): calcular a capacitância vp = 1raizLC e o comprimento de onda lambda = 2pibeta .
Primeiro, precisamos lembrar que em uma linha de transmissão, as relações fundamentais são dadas por:
E o comprimento de onda está relacionado com a constante de fase pela fórmula:
Vamos usar essas relações para encontrar e .

Passo 4

Vamos começar encontrando a capacitância vp = 1raizLC . Sabemos que:
C = 1L vp^2
Queremos isolar C = 1200 times 10^-9 times (2,5 times 10^8)^2 :
Agora, vamos substituir os valores que temos:
Substituindo na fórmula:

Passo 5

Vamos calcular isso passo a passo:
Primeiro, calcule (2,5 times 10^8)^2 = 6,25 times 10^16 , m^2/s^2 :
200 times 10^-9 times 6,25 times 10^16 = 200 times 6,25 times 10^7 = 1,25 times 10^10
Agora, multiplique por C = 11,25 times 10^10 = 8 times 10^-11 , F/m :
Então,
Ou seja, .

Passo 6

Agora, vamos encontrar o comprimento de onda lambda = 2pibeta . Lembra que:
vp = omegabeta
Primeiro, precisamos encontrar beta = omegavp . Sabemos que a velocidade da onda beta = 10^82,5 times 10^8 = 0,4 , rad/m é relacionada à frequência angular pela equação:
Vamos isolar :
Substituindo os valores:
Então,

Passo 7

Agora que temos lambda = 2pi0,4 = 6,28320,4 approx 15,708 , m , podemos calcular :
Arredondando, .

Resposta

a) A onda propaga-se na direção positiva de porque o termo no expoente é , indicando movimento para .
b) A capacitância é e o comprimento de onda é aproximadamente .

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