Seja f: R -> R uma função diferenciável com |f'(x)| <= M para todo x. Defina g(x) = x + epsilon f(x) e mostre que é possível escolher epsilon > 0 suficientemente pequeno para que g seja uma função bijetiva. Dica: mostre que g é diferenciável, e que g'(x) ~ 1 que é positivo, portanto g será monótona crescente e consequentemente bijetiva.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função diferenciável que tem a derivada limitada por um número , ou seja, para todo . A função que precisamos analisar é , onde é um número positivo que vamos escolher pequeno o suficiente. Nosso objetivo é mostrar que, escolhendo de forma adequada, a função seja bijetiva, ou seja, seja tanto injetora quanto sobrejetora. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e propriedades de funções monotônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é diferenciável. Sabemos que é diferenciável por hipótese, e também é uma função diferenciável. Como a soma de funções diferenciáveis também é diferenciável, concluímos que é diferenciável.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de . A derivada de em relação a é 1, e a derivada de é . Portanto,

Passo 4

Sabemos que para todo . Queremos que seja sempre positiva para garantir que seja crescente. Então, vamos impor:
Como , o valor mínimo possível de ocorre quando . Assim,

Passo 5

Portanto, se escolhermos tal que , garantimos que para todo . Isso significa que é uma função crescente em todo o seu domínio.

Passo 6

Uma função que é estritamente crescente em todo o seu domínio é injetora, porque valores diferentes de gerarão valores diferentes de . Além disso, como é o domínio e codomínio, uma função contínua e estritamente crescente que se estende ao infinito nas duas direções será sobrejetora. Assim, é bijetiva.

Resposta

Escolhendo positivo e menor que , a função é bijetiva.

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