Seja uma função diferenciável com para todo . Defina e mostre que é possível escolher suficientemente pequeno para que seja uma função bijetiva. Dica: mostre que é diferenciável, e que que é positivo, portanto será monótona crescente e consequentemente bijetiva.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função diferenciável que tem a derivada limitada por um número , ou seja, para todo . A função que precisamos analisar é , onde é um número positivo que vamos escolher pequeno o suficiente. Nosso objetivo é mostrar que, escolhendo de forma adequada, a função seja bijetiva, ou seja, seja tanto injetora quanto sobrejetora. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e propriedades de funções monotônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é diferenciável. Sabemos que é diferenciável por hipótese, e também é uma função diferenciável. Como a soma de funções diferenciáveis também é diferenciável, concluímos que é diferenciável.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de . A derivada de em relação a é 1, e a derivada de é . Portanto,

Passo 4

Sabemos que para todo . Queremos que seja sempre positiva para garantir que seja crescente. Então, vamos impor:
Como , o valor mínimo possível de ocorre quando . Assim,

Passo 5

Portanto, se escolhermos tal que , garantimos que para todo . Isso significa que é uma função crescente em todo o seu domínio.

Passo 6

Uma função que é estritamente crescente em todo o seu domínio é injetora, porque valores diferentes de gerarão valores diferentes de . Além disso, como é o domínio e codomínio, uma função contínua e estritamente crescente que se estende ao infinito nas duas direções será sobrejetora. Assim, é bijetiva.

Resposta

Escolhendo positivo e menor que , a função é bijetiva.

Exercícios relacionados

Usando diretamente a definição de diferenciabilidade mostre que são diferenciáveis as funções e . Usando diferenciabilidade das operações aritméticas conclua que , para e conclua que toda função polinomial é diferenciável (portanto contínua).
Mostre que para todo . Dica: use a fórmula de Taylor de ordem 2 para .
Seja uma função diferenciável, mostre que: Se é duas vezes diferenciável no , então é convexa se, e somente se, para todo . Dica: Lembre que se é monótona crescente então .
Seja uma função diferenciável, mostre que: é convexa se, e somente se, é monótona crescente no ; Dica: Usando a convexidade, tome e a terna e faça . Depois tome a terna e faça . Conclua que . Para a volta use o teorema do valor médio.