Seja
uma função diferenciável com
para todo
. Defina
e mostre que é possível escolher
suficientemente pequeno para que
seja uma função bijetiva. Dica: mostre que
é diferenciável, e que
que é positivo, portanto
será monótona crescente e consequentemente bijetiva.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função diferenciável
que tem a derivada limitada por um número
, ou seja,
para todo
. A função que precisamos analisar é
, onde
é um número positivo que vamos escolher pequeno o suficiente. Nosso objetivo é mostrar que, escolhendo
de forma adequada, a função
seja bijetiva, ou seja, seja tanto injetora quanto sobrejetora. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e propriedades de funções monotônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é diferenciável. Sabemos que
é diferenciável por hipótese, e
também é uma função diferenciável. Como a soma de funções diferenciáveis também é diferenciável, concluímos que
é diferenciável.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
. A derivada de
em relação a
é 1, e a derivada de
é
. Portanto,
Passo 4
Sabemos que
para todo
. Queremos que
seja sempre positiva para garantir que
seja crescente. Então, vamos impor:
Como
, o valor mínimo possível de
ocorre quando
. Assim,
Passo 5
Portanto, se escolhermos
tal que
, garantimos que
para todo
. Isso significa que
é uma função crescente em todo o seu domínio.
Passo 6
Uma função que é estritamente crescente em todo o seu domínio é injetora, porque valores diferentes de
gerarão valores diferentes de
. Além disso, como
é o domínio e codomínio, uma função contínua e estritamente crescente que se estende ao infinito nas duas direções será sobrejetora. Assim,
é bijetiva.
Resposta
Escolhendo
positivo e menor que
, a função
é bijetiva.
Exercícios relacionados
Usando diretamente a definição de diferenciabilidade mostre que são diferenciáveis as funções
e
. Usando diferenciabilidade das operações aritméticas conclua que
, para
e conclua que toda função polinomial é diferenciável (portanto contínua).
Mostre que
para todo
. Dica: use a fórmula de Taylor de ordem 2 para
.
Seja
uma função diferenciável, mostre que: Se
é duas vezes diferenciável no
, então
é convexa se, e somente se,
para todo
. Dica: Lembre que se
é monótona crescente então
.
Seja
uma função diferenciável, mostre que:
é convexa se, e somente se,
é monótona crescente no
; Dica: Usando a convexidade, tome
e a terna
e faça
. Depois tome a terna
e faça
. Conclua que
. Para a volta use o teorema do valor médio.