Usando diretamente a definição de diferenciabilidade mostre que são diferenciáveis as funções f(x) = c, c em R e f(x) = x. Usando diferenciabilidade das operações aritméticas conclua que f'(x) = n * x^(n-1), n pertence a N, para f(x)=x^n e conclua que toda função polinomial é diferenciável (portanto contínua).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Recebemos um exercício que pede para mostrar que certas funções são diferenciáveis usando diretamente a definição de diferenciabilidade. Especificamente, precisamos provar que as funções constantes e a função identidade são diferenciáveis. Depois, utilizando a diferenciabilidade das operações aritméticas, devemos concluir que a derivada de é para todo número natural n, e, por fim, mostrar que qualquer função polinomial é diferenciável, o que implica que ela também é contínua. Para isso, vamos precisar lembrar da definição de diferenciabilidade e das regras de derivação básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável. Uma função f(x) é diferenciável em um ponto se o limite
existe. Esse limite, se existir, é a derivada da função em , denotada por .

Passo 3

Vamos começar com a função constante , onde c é um número real. Vamos aplicar a definição de diferenciabilidade:
Então, a derivada de uma função constante é zero. Já vimos que esse limite existe, logo a função é diferenciável em todo ponto.

Passo 4

Agora, vamos analisar a função identidade . Aplicando a definição de diferenciabilidade:
Portanto, a derivada da função identidade é 1, e como o limite existe para todo ponto a, a função é diferenciável em todo lugar.

Passo 5

Agora que sabemos que as funções e são diferenciáveis, podemos usar essas informações para encontrar a derivada de funções do tipo , onde n é um número natural. Sabemos que a derivada de uma potência segue a regra:
Essa regra pode ser demonstrada usando o princípio da diferenciabilidade e a regra do produto. Como somamos e multiplicamos funções diferenciáveis, e sabemos que as potências básicas são diferenciáveis, podemos estender isso para qualquer polinômio, que é uma combinação finita de termos do tipo x^n.

Resposta

Portanto, mostramos que as funções e são diferenciáveis. Usando essas funções como base e aplicando as regras de diferenciabilidade das operações aritméticas, concluímos que para qualquer n in N, a derivada de é . Assim, toda função polinomial, sendo uma soma de termos polinomiais diferenciáveis, também é diferenciável e, consequentemente, contínua.

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