Usando diretamente a definição de diferenciabilidade mostre que são diferenciáveis as funções
e
. Usando diferenciabilidade das operações aritméticas conclua que
, para
e conclua que toda função polinomial é diferenciável (portanto contínua).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Recebemos um exercício que pede para mostrar que certas funções são diferenciáveis usando diretamente a definição de diferenciabilidade. Especificamente, precisamos provar que as funções constantes
e a função identidade
são diferenciáveis. Depois, utilizando a diferenciabilidade das operações aritméticas, devemos concluir que a derivada de
é
para todo número natural
, e, por fim, mostrar que qualquer função polinomial é diferenciável, o que implica que ela também é contínua. Para isso, vamos precisar lembrar da definição de diferenciabilidade e das regras de derivação básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável. Uma função
é diferenciável em um ponto
se o limite
existe. Esse limite, se existir, é a derivada da função em
, denotada por
.
Passo 3
Vamos começar com a função constante
, onde
é um número real. Vamos aplicar a definição de diferenciabilidade:
Então, a derivada de uma função constante é zero. Já vimos que esse limite existe, logo a função
é diferenciável em todo ponto.
Passo 4
Agora, vamos analisar a função identidade
. Aplicando a definição de diferenciabilidade:
Portanto, a derivada da função identidade é 1, e como o limite existe para todo ponto
, a função
é diferenciável em todo lugar.
Passo 5
Agora que sabemos que as funções
e
são diferenciáveis, podemos usar essas informações para encontrar a derivada de funções do tipo
, onde
é um número natural. Sabemos que a derivada de uma potência segue a regra:
Essa regra pode ser demonstrada usando o princípio da diferenciabilidade e a regra do produto. Como somamos e multiplicamos funções diferenciáveis, e sabemos que as potências básicas são diferenciáveis, podemos estender isso para qualquer polinômio, que é uma combinação finita de termos do tipo
.
Resposta
Portanto, mostramos que as funções
e
são diferenciáveis. Usando essas funções como base e aplicando as regras de diferenciabilidade das operações aritméticas, concluímos que para qualquer
, a derivada de
é
. Assim, toda função polinomial, sendo uma soma de termos polinomiais diferenciáveis, também é diferenciável e, consequentemente, contínua.
Exercícios relacionados
Mostre que
para todo
. Dica: use a fórmula de Taylor de ordem 2 para
.
Prove que se existem
e
, com
e
, então existe
Dica: use a definição de diferenciabilidade em
.
Seja
uma função diferenciável com
para todo
. Defina
e mostre que é possível escolher
suficientemente pequeno para que
seja uma função bijetiva. Dica: mostre que
é diferenciável, e que
que é positivo, portanto
será monótona crescente e consequentemente bijetiva.
Seja
uma função diferenciável, mostre que: Se
é duas vezes diferenciável no
, então
é convexa se, e somente se,
para todo
. Dica: Lembre que se
é monótona crescente então
.