Usando diretamente a definição de diferenciabilidade mostre que são diferenciáveis as funções e . Usando diferenciabilidade das operações aritméticas conclua que , para e conclua que toda função polinomial é diferenciável (portanto contínua).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Recebemos um exercício que pede para mostrar que certas funções são diferenciáveis usando diretamente a definição de diferenciabilidade. Especificamente, precisamos provar que as funções constantes e a função identidade são diferenciáveis. Depois, utilizando a diferenciabilidade das operações aritméticas, devemos concluir que a derivada de é para todo número natural , e, por fim, mostrar que qualquer função polinomial é diferenciável, o que implica que ela também é contínua. Para isso, vamos precisar lembrar da definição de diferenciabilidade e das regras de derivação básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável. Uma função é diferenciável em um ponto se o limite
existe. Esse limite, se existir, é a derivada da função em , denotada por .

Passo 3

Vamos começar com a função constante , onde é um número real. Vamos aplicar a definição de diferenciabilidade:
Então, a derivada de uma função constante é zero. Já vimos que esse limite existe, logo a função é diferenciável em todo ponto.

Passo 4

Agora, vamos analisar a função identidade . Aplicando a definição de diferenciabilidade:
Portanto, a derivada da função identidade é 1, e como o limite existe para todo ponto , a função é diferenciável em todo lugar.

Passo 5

Agora que sabemos que as funções e são diferenciáveis, podemos usar essas informações para encontrar a derivada de funções do tipo , onde é um número natural. Sabemos que a derivada de uma potência segue a regra:
Essa regra pode ser demonstrada usando o princípio da diferenciabilidade e a regra do produto. Como somamos e multiplicamos funções diferenciáveis, e sabemos que as potências básicas são diferenciáveis, podemos estender isso para qualquer polinômio, que é uma combinação finita de termos do tipo .

Resposta

Portanto, mostramos que as funções e são diferenciáveis. Usando essas funções como base e aplicando as regras de diferenciabilidade das operações aritméticas, concluímos que para qualquer , a derivada de é . Assim, toda função polinomial, sendo uma soma de termos polinomiais diferenciáveis, também é diferenciável e, consequentemente, contínua.

Exercícios relacionados

Mostre que para todo . Dica: use a fórmula de Taylor de ordem 2 para .
Prove que se existem e , com e , então existe
Dica: use a definição de diferenciabilidade em .
Seja uma função diferenciável com para todo . Defina e mostre que é possível escolher suficientemente pequeno para que seja uma função bijetiva. Dica: mostre que é diferenciável, e que que é positivo, portanto será monótona crescente e consequentemente bijetiva.
Seja uma função diferenciável, mostre que: Se é duas vezes diferenciável no , então é convexa se, e somente se, para todo . Dica: Lembre que se é monótona crescente então .