Mostre que
para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que para todo
, onde
é um número inteiro. Aqui, vamos usar conhecimentos de números complexos e identidades trigonométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que . Isso vai nos ajudar a simplificar a expressão. Vamos substituir
na fração:
Passo 3
Para facilitar a conta, vamos multiplicar o numerador e o denominador por
, que é o denominador da fração dentro da expressão. Isso elimina as frações dentro da expressão:
Passo 4
Agora, temos uma fração envolvendo números complexos. Para simplificar, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de é :
Passo 5
Vamos resolver o denominador primeiro usando a identidade
:
Sabemos que , então o denominador fica 1.
Passo 6
Agora, vamos calcular o numerador:
Então, temos:
Passo 7
Vamos usar as identidades trigonométricas para simplificar:
Substituindo na expressão:
Resposta
Assim, mostramos que para todo
, onde
.