Mostre que (1+i tg(theta))/(1-i tg(theta))=cos(2 theta)+i sen(2 theta) para todo theta != pi/2 + k pi, k em Z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que para todo , onde é um número inteiro. Aqui, vamos usar conhecimentos de números complexos e identidades trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que . Isso vai nos ajudar a simplificar a expressão. Vamos substituir na fração:

Passo 3

Para facilitar a conta, vamos multiplicar o numerador e o denominador por , que é o denominador da fração dentro da expressão. Isso elimina as frações dentro da expressão:

Passo 4

Agora, temos uma fração envolvendo números complexos. Para simplificar, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de é :

Passo 5

Vamos resolver o denominador primeiro usando a identidade :
Sabemos que , então o denominador fica 1.

Passo 6

Agora, vamos calcular o numerador:
Então, temos:

Passo 7

Vamos usar as identidades trigonométricas para simplificar:
Substituindo na expressão:

Resposta

Assim, mostramos que para todo , onde .

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