Releia o Exemplo 3 e discuta, com base no Teorema 1.2.1, a existência e unicidade de uma solução do problema de valor inicial que consiste em x y' - 4 y = x^6 e^x e na condiçăo inicial dada.
y(0) = y0, y0 > 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para analisar a existência e unicidade de uma solução para o problema de valor inicial dado pela equação diferencial com a condição inicial , onde . Vamos usar o Teorema 1.2.1, que geralmente trata das condições para que uma solução exista e seja única. Para resolver isso, precisamos reorganizar a equação de forma que possamos aplicar o teorema adequadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação diferencial na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é . Para isso, dividimos ambos os lados da equação por (assumindo que ):
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Agora, vamos verificar as condições do Teorema 1.2.1. Normalmente, esse teorema exige que as funções e sejam contínuas em um intervalo que contenha o ponto inicial . Observamos que apresenta uma descontinuidade em , já que a função não está definida nesse ponto.

Passo 4

Devido �� descontinuidade em , não podemos garantir a aplicação direta do teorema para garantir a existência e unicidade da solução no ponto inicial. Isso significa que, segundo o Teorema 1.2.1, não temos as condições necessárias para afirmar que há uma solução única que passa por .

Passo 5

Além disso, mesmo que considerássemos , precisaríamos analisar o comportamento das soluções próximas a e verificar se elas podem ser estendidas até esse ponto de forma única, o que não é garantido devido à descontinuidade de .

Resposta

Não existe garantia de existência e unicidade de uma solução para o problema de valor inicial dado, já que a condição inicial está em um ponto onde a equação diferencial não atende às condições necessárias do Teorema 1.2.1.

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