Releia o Exemplo 3 e discuta, com base no Teorema 1.2.1, a existência e unicidade de uma solução do problema de valor inicial que consiste em
e na condiçăo inicial dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para analisar a existência e unicidade de uma solução para o problema de valor inicial dado pela equação diferencial
com a condição inicial
, onde
. Vamos usar o Teorema 1.2.1, que geralmente trata das condições para que uma solução exista e seja única. Para resolver isso, precisamos reorganizar a equação de forma que possamos aplicar o teorema adequadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação diferencial na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é
. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por
(assumindo que
):
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, vamos verificar as condições do Teorema 1.2.1. Normalmente, esse teorema exige que as funções
e
sejam contínuas em um intervalo que contenha o ponto inicial
. Observamos que
apresenta uma descontinuidade em
, já que a função não está definida nesse ponto.
Passo 4
Devido �� descontinuidade em
, não podemos garantir a aplicação direta do teorema para garantir a existência e unicidade da solução no ponto inicial. Isso significa que, segundo o Teorema 1.2.1, não temos as condições necessárias para afirmar que há uma solução única que passa por
.
Passo 5
Além disso, mesmo que considerássemos
, precisaríamos analisar o comportamento das soluções próximas a
e verificar se elas podem ser estendidas até esse ponto de forma única, o que não é garantido devido à descontinuidade de
.
Resposta
Não existe garantia de existência e unicidade de uma solução para o problema de valor inicial dado, já que a condição inicial está em um ponto onde a equação diferencial não atende às condições necessárias do Teorema 1.2.1.