Multiplique o numerador e o denominador de r1(cos theta1+i sen theta1)r2(cos theta2+i sen theta2) pelo conjugado do denominador e desenvolva até concluir que r1(cos theta1+i sen theta1)r2(cos theta2+i sen theta2)=r1r2(cos (theta1-theta2)+i sen(theta1-theta2)) (esta é outra maneira de mostrar que quando numerador e denominador são não-nulos, o módulo do quociente é o quociente dos módulos e o argumento do quociente é a diferença dos argumentos).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma fração com números complexos no topo e embaixo. O conteúdo aqui é sobre números complexos, especificamente sobre como simplificar uma fração envolvendo eles. Para resolver, vamos precisar multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Isso ajuda a eliminar a parte imaginária do denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o conjugado do denominador. O denominador é , então o conjugado dele é .

Passo 3

Agora, multiplicamos tanto o numerador quanto o denominador pela expressão que achamos. Ficará assim:

Passo 4

No numerador, multiplicamos por . No denominador, temos .

Passo 5

Vamos simplificar o denominador primeiro. Usando a fórmula de multiplicação de binômios (cos theta2)^2 - (i sen theta2)^2 = cos^2 theta2 - (i^2 sen^2 theta2) = cos^2 theta2 + sen^2 theta2 = 1 , temos:
Então, o denominador fica .

Passo 6

Agora, vamos simplificar o numerador. Multiplicamos os termos:
Sabendo que r1 r2 ( cos theta1 cos theta2 - cos theta1 i sen theta2 + i sen theta1 cos theta2 - i^2 sen theta1 sen theta2 ) , isso fica:

Passo 7

Agrupando os termos reais e imaginários:

Passo 8

Reconhecendo as identidades trigonométricas:
Então, o numerador fica:

Passo 9

Agora, colocamos tudo junto:
Simplificando r1 r2 ( cos(theta1 - theta2) + i sen(theta1 - theta2) )r2^2 , temos:

Resposta

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