Multiplique o numerador e o denominador de
pelo conjugado do denominador e desenvolva até concluir que
(esta é outra maneira de mostrar que quando numerador e denominador são não-nulos, o módulo do quociente é o quociente dos módulos e o argumento do quociente é a diferença dos argumentos).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma fração com números complexos no topo e embaixo. O conteúdo aqui é sobre números complexos, especificamente sobre como simplificar uma fração envolvendo eles. Para resolver, vamos precisar multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Isso ajuda a eliminar a parte imaginária do denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o conjugado do denominador. O denominador é , então o conjugado dele é .
Passo 3
Agora, multiplicamos tanto o numerador quanto o denominador pela expressão que achamos. Ficará assim:
Passo 4
No numerador, multiplicamos por . No denominador, temos .
Passo 5
Vamos simplificar o denominador primeiro. Usando a fórmula de multiplicação de binômios
, temos:
Então, o denominador fica
.
Passo 6
Agora, vamos simplificar o numerador. Multiplicamos os termos:
Sabendo que
, isso fica:
Passo 7
Agrupando os termos reais e imaginários:
Passo 8
Reconhecendo as identidades trigonométricas:
Então, o numerador fica:
Passo 9
Agora, colocamos tudo junto:
Simplificando
, temos: