Mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que
é igual a
menos uma soma envolvendo cossenos, no intervalo
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries trigonométricas e identidade de Fourier. Vamos precisar lembrar como expandir funções em séries e manipular somas infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a função
. Nosso objetivo é encontrar uma representação dessa função como uma série de cossenos. Para isso, vamos expandir
em uma série de Fourier do tipo cosseno.
Passo 3
A série de Fourier para uma função par no intervalo
é dada por:
onde os coeficientes
são calculados por:
Passo 4
Vamos calcular o primeiro coeficiente
:
Resolvendo a integral:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
para
:
Essa integral pode ser resolvida por partes ou usando identidades trigonométricas, e resulta em:
Passo 6
Substituindo os coeficientes na série de Fourier, temos:
Passo 7
Rearranjando a equação para isolar a soma, obtemos:
Resposta
Portanto, mostramos que:
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Mostre que:
;
Mostre que:
Verifique as seguintes igualdades, usando o exercício anterior:
Verifique as seguintes igualdades, usando o exercício anterior: