Mostre que: x(pi - x) = pi^2 / 6 - (cos(2x) + cos(4x) / 2^2 + cos(6x) / 3^2 + ...), 0 < x < pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que é igual a menos uma soma envolvendo cossenos, no intervalo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries trigonométricas e identidade de Fourier. Vamos precisar lembrar como expandir funções em séries e manipular somas infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a função . Nosso objetivo é encontrar uma representação dessa função como uma série de cossenos. Para isso, vamos expandir em uma série de Fourier do tipo cosseno.

Passo 3

A série de Fourier para uma função par no intervalo é dada por:
onde os coeficientes são calculados por:

Passo 4

Vamos calcular o primeiro coeficiente :
Resolvendo a integral:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes para :
Essa integral pode ser resolvida por partes ou usando identidades trigonométricas, e resulta em:

Passo 6

Substituindo os coeficientes na série de Fourier, temos:

Passo 7

Rearranjando a equação para isolar a soma, obtemos:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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