Verifique as condições do Teorema do Valor Médio e determine os valores
que correspondem à conclusão do teorema nos seguintes casos:
(a)
, no intervalo
.
(b)
, no intervalo
©
, no intervalo
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o Teorema do Valor Médio. O que a gente precisa fazer é verificar se as funções dadas satisfazem as condições do teorema nos intervalos especificados e, se sim, encontrar os valores de
que o teorema garante. Vamos precisar lembrar que o Teorema do Valor Médio diz que se uma função é contínua no intervalo fechado
e diferenciável no intervalo aberto
, então existe pelo menos um ponto
em
tal que:
Passo 2
Caso (a):
, no intervalo
.
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua e diferenciável no intervalo dado.
- Continuidade: Polinômios são contínuos em todo lugar, então
é contínua em . - Diferenciabilidade: Novamente, polinômios são diferenciáveis em todo lugar, então
é diferenciável em .
Como as condições estão satisfeitas, aplicamos o Teorema do Valor Médio.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
:
Agora, calculamos a inclinação da secante:
Então, queremos encontrar
tal que:
Passo 4
Resolvendo a equação:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Como estamos no intervalo
, verificamos quais dessas soluções estão dentro desse intervalo.
Calculando aproximadamente:
Então:
O valor
não está no intervalo
, então descartamos.
Resposta
Para o caso (a), o valor de
que satisfaz o Teorema do Valor Médio é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Mostre que
, onde
são constantes fixadas, não tem máximo ou mínimo se, e somente se,
.
Utilize a regra de L(a)
(b)
©
(d)
(b)
©
(d)
Para cada uma das funções abaixo, determine os intervalos onde são crescentes e decrescentes, os pontos de máximo e mínimo locais e os pontos de inflexão.
(a)
(b)
© .
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Entre todos os triângulos que têm a mesma base e a mesma altura, encontre o que tem perímetro máximo.