Verifique as condições do Teorema do Valor Médio e determine os valores que correspondem à conclusão do teorema nos seguintes casos:
(a) , no intervalo .
(b) , no intervalo
© , no intervalo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o Teorema do Valor Médio. O que a gente precisa fazer é verificar se as funções dadas satisfazem as condições do teorema nos intervalos especificados e, se sim, encontrar os valores de que o teorema garante. Vamos precisar lembrar que o Teorema do Valor Médio diz que se uma função é contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto , então existe pelo menos um ponto em tal que:

Passo 2

Caso (a): , no intervalo .
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua e diferenciável no intervalo dado.
  • Continuidade: Polinômios são contínuos em todo lugar, então é contínua em .
  • Diferenciabilidade: Novamente, polinômios são diferenciáveis em todo lugar, então é diferenciável em .
Como as condições estão satisfeitas, aplicamos o Teorema do Valor Médio.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de :
Agora, calculamos a inclinação da secante:
Então, queremos encontrar tal que:

Passo 4

Resolvendo a equação:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Como estamos no intervalo , verificamos quais dessas soluções estão dentro desse intervalo.
Calculando aproximadamente:
Então:
O valor não está no intervalo , então descartamos.

Resposta

Para o caso (a), o valor de que satisfaz o Teorema do Valor Médio é aproximadamente .

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Mostre que , onde são constantes fixadas, não tem máximo ou mínimo se, e somente se, .
Utilize a regra de L(a)
(b)
©
(d)
Para cada uma das funções abaixo, determine os intervalos onde são crescentes e decrescentes, os pontos de máximo e mínimo locais e os pontos de inflexão.
(a)
(b)
© .
(d)
(e)
(f)
Entre todos os triângulos que têm a mesma base e a mesma altura, encontre o que tem perímetro máximo.