Mostre que (partial Upartial V)T=T^2 partial P / Tpartial T e que (partial Spartial V)T=(partial Ppartial T)V
Calcule as quantidades acima para um gás ideal e para um gás de van der Waals.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Termodinâmica. Precisamos mostrar duas igualdades que envolvem derivadas parciais das funções de energia interna ( U) e entropia ( S) em relação ao volume ( V) mantendo a temperatura ( T) constante. Depois, vamos calcular essas quantidades para dois tipos de gases: o gás ideal e o gás de van der Waals. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e as equações de estado desses gases.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que (partial Upartial V)T = T^2 partial (P/T)partial T. Para isso, a gente vai usar algumas relações fundamentais da Termodinâmica, como a primeira lei e as propriedades das derivadas parciais.

Passo 3

Sabemos que, para sistemas termodinâmicos, a energia interna U pode ser relacionada com o trabalho e o calor. A derivada parcial de U em relação a V a temperatura constante nos dá como o trabalho realizado muda com o volume. A expressão que queremos provar envolve a pressão P e a temperatura T, então vamos precisar relacionar essas grandezas.

Passo 4

Vamos começar com a definição de entropia S. A relação fundamental da termodinâmica nos dá:
dU = T dS - P dV
Mantendo a temperatura constante ( dT = 0), podemos reescrever:
(partial Upartial V)T = T (partial Spartial V)T - P

Passo 5

Agora, vamos usar a segunda igualdade que precisamos provar: (partial Spartial V)T = (partial Ppartial T)V. Substituindo isso na equação anterior, temos:
(partial Upartial V)T = T (partial Ppartial T)V - P

Passo 6

Vamos manipular essa expressão para chegar na forma que queremos. Adicionando P aos dois lados:
(partial Upartial V)T + P = T (partial Ppartial T)V
Dividindo tudo por T:
(partial Upartial V)T + PT = (partial Ppartial T)V
Multiplicando ambos os lados por T^2:
T^2 partial (P/T)partial T = (partial Upartial V)T
E assim mostramos a primeira igualdade:
(partial Upartial V)T = T^2 partial (P/T)partial T

Passo 7

Agora, vamos calcular essas quantidades para um gás ideal e para um gás de van der Waals. Primeiro, para o gás ideal. A equação de estado do gás ideal é:
PV = nRT
Onde n é o número de mols e R é a constante dos gases.

Passo 8

Para o gás ideal, vamos calcular (partial Ppartial T)V:
A partir da equação de estado, isolando P:
P = nRTV
Derivando em relação a T mantendo V constante:
(partial Ppartial T)V = nRV

Passo 9

Agora, para (partial Upartial V)T no gás ideal. Sabemos que, para um gás ideal, a energia interna U depende apenas da temperatura, então:
(partial Upartial V)T = 0

Passo 10

Vamos agora para o gás de van der Waals. A equação de estado é:
(P + a n^2V^2)(V - n b) = nRT
Onde a e b são constantes específicas do gás.

Passo 11

Primeiro, calculamos (partial Ppartial T)V para o gás de van der Waals. Rearranjando a equação:
P = nRTV - n b - a n^2V^2
Derivando em relação a T mantendo V constante:
(partial Ppartial T)V = nRV - n b

Passo 12

Agora, para (partial Upartial V)T no gás de van der Waals. Diferente do gás ideal, aqui a energia interna depende do volume devido às interações entre as moléculas. Usando a relação que mostramos no Passo 6:
(partial Upartial V)T = T^2 partial (P/T)partial T
Primeiro, calculamos P/T:
PT = nRV - n b - a n^2V^2 T
Derivando em relação a T:
partial (P/T)partial T = nRV - n b + a n^2V^2 T^2
Multiplicando por T^2:
(partial Upartial V)T = T^2 (nRV - n b + a n^2V^2 T^2) = nR T^2V - n b + a n^2V^2

Resposta

Para um gás ideal:
(partial Upartial V)T = 0 e (partial Spartial V)T = nRV
Para um gás de van der Waals:
(partial Upartial V)T = nR T^2V - n b + a n^2V^2 e (partial Spartial V)T = nRV - n b

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