Mostre que
e que
Calcule as quantidades acima para um gás ideal e para um gás de van der Waals.
Calcule as quantidades acima para um gás ideal e para um gás de van der Waals.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Termodinâmica. Precisamos mostrar duas igualdades que envolvem derivadas parciais das funções de energia interna (
) e entropia (
) em relação ao volume (
) mantendo a temperatura (
) constante. Depois, vamos calcular essas quantidades para dois tipos de gases: o gás ideal e o gás de van der Waals. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e as equações de estado desses gases.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
. Para isso, a gente vai usar algumas relações fundamentais da Termodinâmica, como a primeira lei e as propriedades das derivadas parciais.
Passo 3
Sabemos que, para sistemas termodinâmicos, a energia interna
pode ser relacionada com o trabalho e o calor. A derivada parcial de
em relação a
a temperatura constante nos dá como o trabalho realizado muda com o volume. A expressão que queremos provar envolve a pressão
e a temperatura
, então vamos precisar relacionar essas grandezas.
Passo 4
Vamos começar com a definição de entropia
. A relação fundamental da termodinâmica nos dá:
Mantendo a temperatura constante (
), podemos reescrever:
Passo 5
Agora, vamos usar a segunda igualdade que precisamos provar:
. Substituindo isso na equação anterior, temos:
Passo 6
Vamos manipular essa expressão para chegar na forma que queremos. Adicionando
aos dois lados:
Dividindo tudo por
:
Multiplicando ambos os lados por
:
E assim mostramos a primeira igualdade:
Passo 7
Agora, vamos calcular essas quantidades para um gás ideal e para um gás de van der Waals. Primeiro, para o gás ideal. A equação de estado do gás ideal é:
Onde
é o número de mols e
é a constante dos gases.
Passo 8
Para o gás ideal, vamos calcular
:
A partir da equação de estado, isolando
:
Derivando em relação a
mantendo
constante:
Passo 9
Agora, para
no gás ideal. Sabemos que, para um gás ideal, a energia interna
depende apenas da temperatura, então:
Passo 10
Vamos agora para o gás de van der Waals. A equação de estado é:
Onde
e
são constantes específicas do gás.
Passo 11
Primeiro, calculamos
para o gás de van der Waals. Rearranjando a equação:
Derivando em relação a
mantendo
constante:
Passo 12
Agora, para
no gás de van der Waals. Diferente do gás ideal, aqui a energia interna depende do volume devido às interações entre as moléculas. Usando a relação que mostramos no Passo 6:
Primeiro, calculamos
:
Derivando em relação a
:
Multiplicando por
:
Resposta
Para um gás ideal:
Para um gás de van der Waals:
Exercícios relacionados
Mostre, acoplando duas máquinas térmicas reversíveis I e II, atuando entre as mesmas temperaturas da fonte quente
e da fonte fria
, que o rendimento de ambas deve ser idêntico. Considere ambas as hipóteses:
e
e comente as conclusões. O que acontece se acoplássemos à máquina I ou II uma máquina térmica irreversível III?
Calcule o
para a reação de formação do HCl , sendo fornecidos os seguintes dados de
(em cal
e
, em cal
:
|
a | b | c | |
---|---|---|---|---|
|
31,208 | 6,9469 |
|
|
|
53,288 | 7,5755 |
|
|
|
44,646 | 6,7319 |
|
|
Quais serão as variações de entropia para o aquecimento de um mol de hidrogênio ocupando inicialmente, a 100 K , um volume de 10 litros até uma temperatura final de 600 K e volume final de 100 litros, se o processo for conduzido:
a) reversivelmente
b) irreversivelmente, colocando-se o gás num forno a 750 K e, depois, deixando-o expandir contra uma pressão externa constante de 1,00 atm.
Dados:
a) reversivelmente
b) irreversivelmente, colocando-se o gás num forno a 750 K e, depois, deixando-o expandir contra uma pressão externa constante de 1,00 atm.
Dados:
Calcule o
(sistema) para a expansão isotérmica de um mol de alumínio sólido de
a
, se
, admitindo-se que o processo se dê reversivelmente.