Mostre que e que
Calcule as quantidades acima para um gás ideal e para um gás de van der Waals.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Termodinâmica. Precisamos mostrar duas igualdades que envolvem derivadas parciais das funções de energia interna ( ) e entropia ( ) em relação ao volume ( ) mantendo a temperatura ( ) constante. Depois, vamos calcular essas quantidades para dois tipos de gases: o gás ideal e o gás de van der Waals. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e as equações de estado desses gases.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que . Para isso, a gente vai usar algumas relações fundamentais da Termodinâmica, como a primeira lei e as propriedades das derivadas parciais.

Passo 3

Sabemos que, para sistemas termodinâmicos, a energia interna pode ser relacionada com o trabalho e o calor. A derivada parcial de em relação a a temperatura constante nos dá como o trabalho realizado muda com o volume. A expressão que queremos provar envolve a pressão e a temperatura , então vamos precisar relacionar essas grandezas.

Passo 4

Vamos começar com a definição de entropia . A relação fundamental da termodinâmica nos dá:
Mantendo a temperatura constante ( ), podemos reescrever:

Passo 5

Agora, vamos usar a segunda igualdade que precisamos provar: . Substituindo isso na equação anterior, temos:

Passo 6

Vamos manipular essa expressão para chegar na forma que queremos. Adicionando aos dois lados:
Dividindo tudo por :
Multiplicando ambos os lados por :
E assim mostramos a primeira igualdade:

Passo 7

Agora, vamos calcular essas quantidades para um gás ideal e para um gás de van der Waals. Primeiro, para o gás ideal. A equação de estado do gás ideal é:
Onde é o número de mols e é a constante dos gases.

Passo 8

Para o gás ideal, vamos calcular :
A partir da equação de estado, isolando :
Derivando em relação a mantendo constante:

Passo 9

Agora, para no gás ideal. Sabemos que, para um gás ideal, a energia interna depende apenas da temperatura, então:

Passo 10

Vamos agora para o gás de van der Waals. A equação de estado é:
Onde e são constantes específicas do gás.

Passo 11

Primeiro, calculamos para o gás de van der Waals. Rearranjando a equação:
Derivando em relação a mantendo constante:

Passo 12

Agora, para no gás de van der Waals. Diferente do gás ideal, aqui a energia interna depende do volume devido às interações entre as moléculas. Usando a relação que mostramos no Passo 6:
Primeiro, calculamos :
Derivando em relação a :
Multiplicando por :

Resposta

Para um gás ideal:
Para um gás de van der Waals:

Exercícios relacionados

Mostre, acoplando duas máquinas térmicas reversíveis I e II, atuando entre as mesmas temperaturas da fonte quente e da fonte fria , que o rendimento de ambas deve ser idêntico. Considere ambas as hipóteses: e e comente as conclusões. O que acontece se acoplássemos à máquina I ou II uma máquina térmica irreversível III?
Calcule o para a reação de formação do HCl , sendo fornecidos os seguintes dados de (em cal e , em cal :
a b c
31,208 6,9469
53,288 7,5755
44,646 6,7319
Quais serão as variações de entropia para o aquecimento de um mol de hidrogênio ocupando inicialmente, a 100 K , um volume de 10 litros até uma temperatura final de 600 K e volume final de 100 litros, se o processo for conduzido:
a) reversivelmente
b) irreversivelmente, colocando-se o gás num forno a 750 K e, depois, deixando-o expandir contra uma pressão externa constante de 1,00 atm.
Dados:
Calcule o (sistema) para a expansão isotérmica de um mol de alumínio sólido de a , se , admitindo-se que o processo se dê reversivelmente.