Mostre que se alpha e beta são dois números positívos satisfazendo
2α - α²/2 + β²/2 = 2
então alpha + beta = 2 ou alpha - beta = 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois números positivos, chamados α e β, que obedecem a seguinte equação:
Nosso objetivo aqui é mostrar que, com essa relação, ou a soma α + β dá 2, ou a diferença α - β também dá 2. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e completar o quadrado nas expressões que envolvem α e β.

Passo 2

Primeiro, vamos arrumar a equação para ficar mais fácil de trabalhar. Vamos multiplicar toda a equação por 2 para eliminar os denominadores:
Agora, reescrevemos os termos para deixar os quadrados de α e β mais claros:

Passo 3

Vamos completar o quadrado para o termo que envolve α. Lembra como completar o quadrado? É transformar uma expressão quadrática em um quadrado perfeito, tipo .
Para a expressão , vamos fatorar o -1:
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses:
  • Primeiro, pegamos o coeficiente de α, que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: .
  • Então, adicionamos e subtraímos 4 dentro dos parênteses:
Simplificando:

Passo 4

Substituímos de volta na equação original:
Agora, vamos simplificar:
Ou seja:

Passo 5

Para tirar as raízes quadradas de ambos os lados, lembrando que α e β são positivos:
Simplificando a segunda opção:

Passo 6

Agora, vamos analisar cada caso:
  1. Se :
    • Somando α e β:
    Mas como α e β são positivos, para que 2α - 2 seja positivo, α tem que ser maior que 1. Nesse caso, para satisfazer a equação original, acabamos descobrindo que .
  2. Se :
    • Somando α e β:
    Ou seja, diretamente, .
Além disso, se considerarmos a diferença:
Para que essa diferença seja igual a 2, temos:
E então, , mas como β é positivo, essa solução não é válida no contexto do problema. Portanto, a única solução válida é .

Resposta

Portanto, se α e β são números positivos que satisfazem a equação dada, então .

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