Mostre que se
e
são dois números positívos satisfazendo
então
ou
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois números positivos, chamados α e β, que obedecem a seguinte equação:
Nosso objetivo aqui é mostrar que, com essa relação, ou a soma α + β dá 2, ou a diferença α - β também dá 2. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e completar o quadrado nas expressões que envolvem α e β.
Passo 2
Primeiro, vamos arrumar a equação para ficar mais fácil de trabalhar. Vamos multiplicar toda a equação por 2 para eliminar os denominadores:
Agora, reescrevemos os termos para deixar os quadrados de α e β mais claros:
Passo 3
Vamos completar o quadrado para o termo que envolve α. Lembra como completar o quadrado? É transformar uma expressão quadrática em um quadrado perfeito, tipo
.
Para a expressão
, vamos fatorar o -1:
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses:
- Primeiro, pegamos o coeficiente de α, que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
. - Então, adicionamos e subtraímos 4 dentro dos parênteses:
Simplificando:
Passo 4
Substituímos de volta na equação original:
Agora, vamos simplificar:
Ou seja:
Passo 5
Para tirar as raízes quadradas de ambos os lados, lembrando que α e β são positivos:
Simplificando a segunda opção:
Passo 6
Agora, vamos analisar cada caso:
-
Se
: - Somando α e β:
Mas como α e β são positivos, para que 2α - 2 seja positivo, α tem que ser maior que 1. Nesse caso, para satisfazer a equação original, acabamos descobrindo que. -
Se
: - Somando α e β:
Ou seja, diretamente,.
Além disso, se considerarmos a diferença:
Para que essa diferença seja igual a 2, temos:
E então,
, mas como β é positivo, essa solução não é válida no contexto do problema. Portanto, a única solução válida é
.
Resposta
Portanto, se α e β são números positivos que satisfazem a equação dada, então
.